9.3. Разрешение изображения и взаимосвязь критериев коррекции аберраций

В данном разделе рассматривается взаимосвязь критерия разрешения изображения - критерия Штреля - и критериев коррекции аберраций: будут получены формулы, показывающие, как связаны число Штреля и волновая аберрация для оптических систем, не имеющих центрального экранирования зрачка. Кроме того, рассматривается соотношение критериев Релея и Марешаля для различных типов аберраций при выполнении критерия Штреля.

9.3.1. Полный вывод выражения для вычисления числа Штреля при малых аберрациях

Для того чтобы вычислить число Штреля , нужно вычислить аберрационную ФРТ в центре поля изображения:

           (9.3.1)

Пренебрегаем третьей и более высокими степенями волновой аберрации в подынтегральном выражении:

(9.3.2)

В приведенных выше математических преобразованиях слагаемое, содержащее 4-ю степень волновой аберрации, отброшено из-за его малости. Интегралы от квадрата волновой аберрации и от самой волновой аберрации, усредненные по зрачку, обозначены, соответственно, через и . Таким образом, получаем следующее выражение для вычисления ФРТ при малых аберрациях:

           (9.3.3)

Число Штреля есть отношение к , то есть к значению безаберрационной ФРТ в центре поля изображения, равному :

           (9.3.4)

Итак:

           (9.3.5)

где - средний квадрат деформации волнового фронта.

Мы получили приближенное выражение для числа Штреля. Следует помнить, что это выражение корректно только при малых аберрациях, поскольку число Штреля не может быть отрицательным.

9.3.2. Взаимосвязь критериев Штреля, Релея и Марешаля для различных аберраций

Оптическая система считается безаберрационной, если величина волновой аберрации такова, что для этой оптической системы выполняются все три критерия: Штреля, Релея и Марешаля. Обсудим взаимосвязь этих критериев, из которой вытекают их принятые числовые значения.

Критерий Штреля и критерий Марешаля

Как уже говорилось, число Штреля связано с оценкой функции интенсивности изображения точки - ФРТ. Воспользуемся приближенным выражением для случая малых аберраций и найдем величину среднеквадратической волновой аберрации соответствующей значению :

           (9.3.6)

Выражение (9.3.6) выражает собой выполнение критерия Штреля, когда число Штреля не меньше 0.8.

Из формул (9.3.6) получаем хорошо известное значение критерия Марешаля для среднеквадратической волновой аберрации:

           (9.3.7)

Критерий Релея

Критерий Релея для волновой аберрации был установлен так, что при его выполнении число Штреля будет не ниже 0.8, что достигается, если максимальная величина волновой аберрации по модулю не будет превышать длины волны. Однако, строго говоря, критерий Релея соответствует критерию Штреля только для самой простой аберрации - дефокусировки. Для других аберраций, в том числе и сферической аберрации разных порядков, это соответствие нарушается. Поэтому критерий Релея применяется лишь для первой, самой грубой оценки состояния коррекции аберраций, хотя если оптическая система этому критерию удовлетворяет, то она, безусловно, является дифракционно-ограниченной.

Соотношение между критериями для различных типов аберраций

Покажем, как изменяется соотношение между критериями Релея и Марешаля для различных типов аберраций. Рассмотрим три примера - дефокусировку, сферическую аберрацию и астигматизм третьего порядка. Для упрощения вычисления среднеквадратической волновой аберрации, соответствующей указанным типам аберраций, воспользуемся описанием аберраций по полиномам Цернике (параграф 8.1). Свойство ортогональности этих полиномов дает возможность вычислить среднеквадратическую волновую аберрацию непосредственным возведением в квадрат аберрационного коэффициента с последующим умножением на норму полинома Цернике.

Пример 1. Дефокусировка

Волновая аберрация описывается двумя коэффициентами и . Поскольку критерий Релея ограничивает максимальное и минимальное значения волновой аберрации:

           (9.3.8)

то можно воспользоваться тем, что полиномы Цернике максимальны при и минимальны при :

           (9.3.9)

Пусть максимальное значение волновой аберрации будет , а минимальное - , что соответствует критерию Релея. Тогда можно составить следующую систему уравнений:

           (9.3.10)

Решая эту систему, находим значения для коэффициентов и .

Благодаря свойству ортогональности полиномов Цернике все квадратичные величины, связанные с волновой аберрацией вычисляются через нормированные суммы квадратов коэффициентов. В частности, для среднего квадрата волновой аберрации имеем:

           (9.3.11)

где - норма полинома Цернике, описывающего дефокусировку.

Подставляя в (9.3.11) значение для , находим средний квадрат, а затем и среднеквадратическую волновую аберрацию, равную 0.071 или . Здесь, как видим, критерий Релея для дефокусировки точно соответствует критерию Марешаля.

Пример 2. Сферическая аберрация 3-го порядка

Предположим, что волновая аберрация определяется только двумя коэффициентами и . Рассуждения, аналогичные предыдущим приводят нас к необходимости нахождения минимального значения полинома Цернике, описывающего сферическую аберрацию третьего порядка . После дифференцирования по , мы находим, что минимальное значение этого полинома (- 0.5) достигается при . Составляем систему уравнений:

           (9.3.12)

Отсюда находим , а . Средний квадрат находится по следующей формуле:

           (9.3.13)

где . Значение среднеквадратической волновой аберрации равно 0.075 или , что лишь приблизительно соответствует критерию Марешаля.

Пример 3. Астигматизм 3-го порядка

Предположим, что волновая аберрация описывается следующим выражением:

           (9.3.14)

При максимальной величине волновой аберрации 0.25 находим величину коэффициента астигматизма:

, отсюда следовательно:

           (9.3.15)

Мы получили для астигматизма значение среднеквадратической волновой аберрации , что существенно больше, чем . Это говорит о значительном несоответствии критерия Релея критерию Марешаля для астигматизма.

Как следует из всех приведенных примеров, выполнение критерия Релея не гарантирует выполнение критерия Штреля (когда число Штреля будет не меньше 0.8). В то же время, критерий Марешаля всегда согласуется с критерием Штреля, поэтому критерий Марешаля имеет очень большое значение для оценки аберраций дифракционно-ограниченных оптических систем и используется как основной критерий не только при проектировании, но также и при изготовлении и аттестации оптических систем на производстве.