8.1. Разложение волновой аберрации в ряд по полиномам Цернике

При вычислении разнообразных характеристик качества изображения требуется вычисление зрачковой функции через волновые аберрации в большом количестве точек на зрачке, до нескольких сотен. Для того чтобы заменить весьма трудоемкий расчет большого числа лучей простыми алгебраическими действиями, необходима численная модель аберраций. Поэтому функция волновых аберраций представляется в виде ряда по степеням зрачковых координат или по другим функциям этих координат. Разложение по степенным координатам подробно рассматривается в параграфе "8.2.1. Разложение волновой аберрации в ряд".

8.1.1. Разложение волновой аберрации по полиномам Цернике

Альтернативой степенному базису служат полиномы, введенные в оптику голландским ученым, лауреатом Нобелевской премии по оптике, Фрицем Цернике и называемые по его имени "полиномы Цернике".

Функция разложения волновой аберрации в ряд по полиномам Цернике выглядит следующим образом:

            (8.1.1)

где и - полярные координаты, - степень , - степень , причем , () - четное число, - радиальные полиномы Цернике, зависящие только от .

Полиномы Цернике ортогональны на окружности единичного радиуса. Условие ортогональности записывается так:

             (8.1.2)

где - норма полинома.

Ортогональность полиномов Цернике дает им большие преимущества при анализе аберраций по сравнению со степенным базисом. Основными преимуществами являются:

• абсолютные значения коэффициентов разложения по полиномам Цернике уменьшаются с увеличением степени полиномов, то есть ряд Цернике, как правило, всегда сходится, чего нельзя утверждать о степенном ряде;
• каждый коэффициент ряда дает вклад аберрации данного типа и порядка в общую волновую аберрацию с позиции взаимного баланса всех типов аберраций. Это означает, что отдельные типы аберраций, представленные разложением по полиномам Цернике, влияют на качество изображения совершенно независимо друг от друга.

Кроме указанных преимуществ, полиномы Цернике образуют очень устойчивый базис к погрешностям вычислений при моделировании работы оптических систем на компьютере или математической обработке результатов измерений. Поэтому полиномы Цернике используют для представления формы волновых фронтов как в проектировании оптических систем, так и в процедурах контроля качества изготовленных оптических систем и отдельных деталей.

8.1.2. Основные типы аберраций, представленные полиномами Цернике

Каждое слагаемое ряда (8.1.1) описывает аберрацию определенного вида и порядка. В таблице приведены названия наиболее важных компонентов разложения волновой аберрации по полиномам Цернике. Все значения волновой и поперечных аберраций даны для .

Таблица 8.1.1. Основные типы аберраций, представлнные полиномами Цернике

тип аберрации	профиль волнового фронта	поперечные аберрации	точечная диаграмма
расфокусировка
сферическая аберрация 3-го порядка
сферическая аберрация 5-го порядка
поперечное смещение (дисторсия)
кома 3-го порядка
кома 5-го порядка
астигматизм 3-го порядка			сагиттальный фокус меридиональный фокус в плоскости идеального изображения
астигматизм 5-го порядка