9.2. Математические модели формирования оптического изображения

Формирование изображения реальными оптическими системами является более сложным процессом, чем простое построение лучей, исходящих из отдельных точек предмета. Чтобы описать процесс образования изображения предмета, необходимо представить функции предмета и изображения как некоторые сигналы на входе и выходе линейной системы. Система называется линейной, если характер ее действия не зависит от входного сигнала. Оптическая система является хорошим примером линейной системы. Функции предмета и изображения возьмем как функции от обобщенных координат на предмете и изображении. Преобразование функции предмета в функцию изображения можно представить в виде двух основных математических моделей: модели формирования изображения в когерентном свете и модели формирования изображения в некогерентном свете. Рассмотрим вначале способы описания предмета и изображения, а затем покажем, каким образом формируется изображение и какое влияние оказывает на него оптическая система.

9.2.1. Описание предмета и изображения

Функции предмета и изображения в обобщенных координатах можно представить в двух формах:

• в виде комплексных амплитуд поля в плоскости предмета и в плоскости изображения ;
• в виде обобщенных интенсивностей предмета и изображения .

При этом необходимо помнить, что интенсивность (предмета или изображения) определяется через комплексную амплитуду так:

           (9.2.1)

9.2.2. Внешняя функциональная модель оптической системы

Прежде, чем рассмотреть конкретные модели формирования изображения, запишем в канонических координатах общее выражение преобразования некоторого сигнала линейной системой:

           (9.2.2)
где - канонические координаты, - аппаратная функция.

Данное выражение применительно к оптической системе называется внешней функциональной моделью. Хотя пределы интегрирования в выражении (9.2.2) в строгом смысле бесконечны, на самом деле при вычислении двойного интеграла охватывается некоторая конечная область существования сигнала, что характерно для реальных оптических систем. Аппаратная функция связывает преобразование функции предмета с аберрациями и другими параметрами реальной оптической системы.

Понятие изопланатических зон

Аппаратная функция в выражении (9.2.2), как правило, существенно меняется для различных участков предмета. В таком случае применение выражения (9.2.2) для описания формирования изображения всего поля предмета становится неправомерным. Эта проблема решается путем разбиения поля на небольшие участки, в пределах которых аппаратная функция имеет один и тот же вид. Свойство системы, при котором аппаратная функция не зависит от координат точек на предмете, называется инвариантностью к сдвигу или изопланатизмом.

Оптическая система в общем случае неизопланатична, то есть обладает изопланатизмом только в пределах небольших зон на предмете, которые называются изопланатическими зонами.

Координаты , которые определяют положение центра изопланатической зоны, называются глобальными координатами, а координаты точек внутри изопланатической зоны называются зональными координатами.

Таким образом, двойной интеграл (9.2.2) определяется только для данной изопланатической зоны.

Для описания аберрационных свойств центрированных оптических систем по полю достаточно рассматривать одну предметную глобальную относительную координату , которая определяет положение центров изопланатических зон.

Модели формирования изображения, которые рассмотрены ниже, являются зональными и показывают, каким образом качество изображения связано с параметрами оптической системы в пределах данной изопланатической зоны.

9.2.3. Модель образования изображения в когерентном свете

Когерентным светом называется такое световое поле, для которого разность фаз в двух произвольно расположенных точках в пространстве остается постоянной за время инерции приемника излучения.

Рис.9.2.1 иллюстрирует преобразование комплексной амплитуды когерентного света при его прохождении от плоскости предмета через оптическую систему до плоскости изображения.

Рис. 9.2.1. Модель формирования изображения в когерентном свете.

При освещении предмета когерентным светом в его плоскости образуется поле с комплексной амплитудой . Затем, в результате дифракции на структуре предмета, во входном зрачке оптической системы образуется поле . Действие оптической системы на проходящее через нее поле описывается зрачковой функцией:

           (9.2.3)
где - коэффициент пропускания оптической системы, - волновая аберрация.

Зрачковая функция является внутренней функциональной моделью оптической системы в когерентном свете. Она описывает три вида воздействия оптической системы на проходящее излучение:

• частичные потери энергии света описываются при помощи коэффициента пропускания;
• нарушение гомоцентричности пучков лучей описывается при помощи волновой аберрации;
• ограничение пучков лучей описывается при помощи условия .

Таким образом, зрачковая функция описывает также влияние дифракции света на формирование изображения.

Поле в выходном зрачке оптической системы становится таким:

           (9.2.4)

Далее происходит дифракция света на краях выходного зрачка, то есть мы допускаем, что дифракционное действие всех диафрагм внутри оптической системы заменяется дифракцией только на выходном зрачке. Для линейных систем, к которым принадлежат оптические системы, такие допущения справедливы и не нарушают строгости модели. В результате получаем поле в плоскости изображения .

Если мы учтем, что дифракция в оптических системах (параграф 9.1) точно описывается преобразованием Фурье, то можно представить модель формирования изображения в когерентном свете в виде следующей последовательности:

           (9.2.5)
где , , и - прямое и обратное преобразования Фурье.

Таким образом, оптическая система при когерентном освещении, линейна по амплитуде, то есть она является линейной системой, если в качестве входного сигнала взята комплексная амплитуда. Разумеется, интенсивность предмета и изображения определяются через квадраты модулей соответствующих комплексных амплитуд, но по отношению к интенсивности оптическая система в данном случае будет нелинейной системой.

9.2.4. Модель образования изображения в некогерентном свете

Теперь рассмотрим преобразование интенсивности, а не комплексной амплитуды. В данном случае по аналогии с когерентной моделью мы формально можем выстроить следующую цепочку преобразований (рис. 9.2.2):

           (9.2.6)

где - интенсивность предмета, - фурье-образ интенсивности предмета, - оптическая передаточная функция, - фурье-образ интенсивности изображения, - интенсивность изображения, - канонические пространственные частоты.

Рис. 9.2.2. Модель формирования изображения в некогерентном свете.

Оптическая передаточная функция имеет следующую структуру:

           (9.2.7)

где - модуляционная передаточная функция, - фазовая передаточная функция.

Смысл данной модели формирования изображения не так близок к реальному физическому процессу прохождения света через оптическую систему, как смысл когерентной модели. По сути, в некогерентной модели формулируется математическая абстракция, позволяющая, как в радиотехнике, описать формирование изображения в виде преобразования частотного спектра предмета, с той разницей, что частоты в данном случае не временные, а пространственные. Тем не менее, поскольку в этой модели описываются линейные преобразования интенсивности света, модель оказывается вполне строгой как математически, так и физически.

Оптическая передаточная функция является внутренней функциональной моделью оптической системы в некогерентном свете. Поскольку ОПФ полностью описывает действие оптической системы на формирование изображения в некогерентном свете, то она должна содержать в себе ту же информацию, что и зрачковая функция, но применительно не к амплитуде, а к интенсивности.

Чтобы понять, каким образом ОПФ связана со зрачковой функцией, следует при помощи двух моделей описать формирование изображения такого объекта, который математически описывается одинаково как для когерентной, так и для некогерентной модели. В теории линейных систем в качестве такого объекта выбирают либо гармонический сигнал, либо сверхкороткий импульс. Для оптических систем часто используют именно импульс, но не во времени, а в пространстве - бесконечно малую светящуюся точку бесконечно большой яркости. В природе хорошим примером такой точки является звезда на ночном небе. Математически этот объект описывается так называемой -функцией Дирака:

           (9.2.8)

Или в канонических координатах:

           (9.2.9)

Прежде, чем рассмотреть обе модели, заметим, что точечный предмет является источником сферических волн, причем все эти волны имеют волновые фронты с одним и тем же центром кривизны. Можно показать, что для монохроматического света в этом случае мы имеем когерентное излучение, то есть точечный объект излучает когерентный свет и, в то же время, одинаково изображается как по когерентной модели, так и по некогерентной. Именно это свойство точечного объекта позволяет достаточно просто найти математическую связь между ОПФ и зрачковой функцией.

Итак, пусть предметом для когерентной модели служит одна бесконечно малая светящаяся точка, комплексная амплитуда которой описывается -функцией. Тогда с учетом того, что преобразование Фурье от -функции равно 1, получим:

           (9.2.10)

В итоге в плоскости изображения мы получили функцию комплексной амплитуды излучения, идущего через оптическую систему от точечного предмета. Интенсивность изображения определяется через квадрат модуля комплексной амплитуды:

           (9.2.11)

Полученная интенсивность - это интенсивность в изображении точки , то есть функция рассеяния точки.

Для некогерентной модели предмет в виде светящейся точки тоже можно описать при помощи -функции. Выполняя аналогичные преобразования, но теперь в соответствии с моделью формирования изображения в некогерентном свете, получим интенсивность в изображении точки и, наконец, найдем связь ОПФ со зрачковой функцией:

           (9.2.12)

Итак мы видим, что ОПФ - это Фурье-образ квадрата модуля функции, являющейся обратным преобразованием Фурье от зрачковой функции. Сопоставление двух моделей показывает, что в основе внутренней функциональной модели для некогерентного света - оптической передаточной функции - лежит зрачковая функция, которая непосредственно связана с аберрациями и другими необходимыми параметрами оптической системы.

Из полученных соотношений для ОПФ и зрачковой функции следует, что ОПФ можно вычислить как автокорреляцию зрачковой функции (параграф 9.2).