9.1. Дифракция света в оптических системах.

9.1.1. Общие принципы дифракции света

Дадим определение дифракции по Зоммерфельду (Sommerfeld):

Дифракцией света называют любое отклонение движения света от лучевых траекторий, не связанное с преломлением или отражением.

Основоположником современной скалярной теории дифракции является Френель (Fresnell). В основу своей теории Френель положил принцип Гюйгенса (Heugens), который гласит, что каждая точка первичного волнового фронта является источником вторичных волновых фронтов, которые интерферируют между собой. Иными словами, вторичный фронт складывается из большого числа так называемых волночек (wavelets).

Фазы вторичных волновых фронтов не являются такими же, как у первичного волнового фронта. Учет изменения фазы связан с применением перед выражением для дифрагированного поля множителя . Этот множитель означает, что при любых условиях дифракции прошедшая волна отстает по фазе от исходной волны на .

Взаимодействие световых волн с краем дифракционного препятствия - сложный оптико-физический процесс. Наиболее точно он может быть описан только в рамках векторной электромагнитной теории. Из-за высокой сложности математического описания дифракции векторных полей аналитические решения дифракционных задач в векторной форме найдены только для некоторых частных случаев.

Тем не менее, в XX веке в связи с бурным развитием оптических микроэлектронных технологий появились разнообразные векторные модели дифракции света, ориентированные на компьютерные методы расчета. Вместе с тем скалярная теория дифракции Гюйгенса-Френеля остается основным инструментом анализа и проектирования оптических систем, потому что достаточно адекватно описывает все основные аспекты формирования оптического изображения. Следует лишь указать два наиболее важных случая, когда при описании дифракции необходимо учитывать векторные свойства света:

• если оптическая система обладает большой числовой апертурой (как например, микрообъективы, где числовые апертуры достигают предельных значений 0.9 - 1.0);
• при описании работы субдлинноволновых оптических инструментов, когда свет проходит через отверстия с размерами существенно меньшими длины волны.

Указанные случаи можно рассматривать особо и применять векторные соотношения, если необходимо уточнить результаты, полученные по скалярной теории.

9.1.2. Описание светового поля при помощи плоских волн

Как уже говорилось, комплексная амплитуда поля является одной из основных характеристик при изучении дифракции. В случаях, если пучок гомоцентрический, комплексная амплитуда остается постоянной.

Комплексную амплитуду можно представить в виде суммы плоских волн:

           (9.1.1)
где - плоские волны, каждая из которых имеет свой коэффициент .

           (9.1.2)

где - это волновой вектор, - радиус-вектор, , , - направляющие косинусы.

Плоские волны очень удобны для описания сложного светового поля в оптических системах. Преимущества плоских волн следующие:

• плоская волна полностью определяется направляющими косинусами своего волнового вектора, причем только два косинуса независимы:
  ; ;
• математическое описание плоской волны имеет очень простой вид;
• плоская волна является решением уравнения Гельмгольца, и поэтому сумма плоских волн так же является решением уравнения Гельмгольца, что необходимо для корректного решения задачи дифракции.

Углы между волной и осью называются углами дифракции (). Обычно эти углы небольшие, лишь в высокоапертурных системах они приближаются к 90°. Плоские волны, у которых направляющие косинусы и удовлетворяют условию , являются незатухающими в пространстве, и их называют радиационными (radiating). Эти волны имеют пространственную структуру не мельче, чем длина волны (рис. 9.1.1а). В случае, если , плоские волны имеют более мелкую пространственную структуру, чем длина волны, то есть комплексная амплитуда такой плоской волны меняет свой знак на расстоянии меньшем, чем длина волны. Эти волны не могут распространяться далеко от дифракционного препятствия и являются затухающими в пространстве - эванесцентными (evanescent) (см. рис. 9.1.1б).

а) незатухающие волны	б) затухающие волны
Рис. 9.1.1. Затухающие и незатухающие волны.

Представим комплексную амплитуду волны через сумму плоских волн в интегральной форме:

           (9.1.3)

Это выражение дает ключ к решению задачи дифракции в терминах плоских волн.

9.1.3. Описание дифракции света на экране через спектр плоских волн

Плоская волна, которая имеет единичную амплитуду, выражается следующим образом:

           (9.1.4)

Пусть , тогда - это поле в плоскости экрана.

Будем считать, что экран обладает непрозрачными стенками и полностью поглощает свет (граничные условия Кирхгофа) (рис.9.1.2):

           (9.1.5)

Рис. 9.1.2. Плоский экран.

Представим сразу за экраном как сумму плоских волн:

           (9.1.6)
где - некоторый постоянный коэффициент, пропорциональный .

Для преобразования формулы (9.1.6) в обратное преобразование Фурье воспользуемся следующими обозначениями:

1) направляющие косинусы (или пространственные частоты плоской волны) можно определить через дополнительные к ним углы дифракции:

где - числовые апертуры, которые в данном случае определяются через максимальные углы дифракции, - относительные координаты, определяющие направление плоских волн (аналогичны зрачковым координатам);

2) канонические координаты экрана определяются через апертуры и длину волны (аналогичны каноническим координатам на предмете):
, .

В указанных обозначениях перепишем выражение (9.1.6) следующим образом:

.            (9.1.7)

Таким образом, поле в плоскости экрана представляет собой обратное преобразование Фурье от некоторого пространственно-частотного спектра, а именно:

.            (9.1.8)

Тогда поле в пространстве за экраном можно определить как распределение комплексной амплитуды по угловым относительным координатам через прямое преобразование Фурье от поля внутри экрана:

           (9.1.9)

Множитель затем можно опустить, так как этот множитель в дальнейшем не влияет на относительное распределение интенсивности в плоскости регистрации дифрагированного поля.

Определив , можно записать полное решение задачи дифракции, то есть описать дифракционное распространение светового поля в пространстве за экраном:

            (9.1.10)

,            (9.1.11)
где - спектр пространственных частот с учетом воздействия передаточной функции свободного однородного пространства .

Передаточную функцию свободного пространства, как следует из (9.1.10) и (9.1.11), можно представить следующим образом:

            (9.1.12)

Множитель показывает, что в эту функцию входят только незатухающие волны. Таким образом, в пространстве после отверстия появляется много плоских волн, расходящихся пропорционально углам дифракции.

Если плоская волна падает перпендикулярно к экрану с отверстием, то после прохождения волны через него получаем спектр плоских волн, то есть пучок света расходится в пределах некоторого угла, который увеличивается с уменьшением размера отверстия и уменьшается с увеличением отверстия. Для того чтобы представить эту связь строго математически, можно после отверстия поставить оптическую систему. Описание ее действия приводит к сильному упрощению математического аппарата при определенных условиях.

За отверстием, на расстоянии порядка 100 длин волн, наблюдается дифракция Френеля, а на расстояниях значительно больших, чем длина волны, наблюдается дифракция Фраунгофера. Границы между этими зонами нечеткие. Приведем оптическую схему, с помощью которой производится наблюдение картины дифракции Фраунгофера:

Рис. 9.1.3. Схема наблюдения дифракционной картины Фраунгофера.

Дифракционное распространение можно представить в виде распределения совокупности плоских волн (каждая плоская волна - параллельный пучок, идущий под определенным углом к оптической оси), поэтому если после дифракционного препятствия поставить оптическую систему, параллельные пучки сфокусируются в задней фокальной плоскости оптической системы. Это означает, что та картинка, которая локализуется где-то в бесконечности за экраном, при помощи линзы проектируется в заднюю фокальную плоскость. Как видно из рис.9.1.3, она связана с распределением энергии по отдельным плоским волнам. В то же время, это распространение по плоским волнам описывается фурье-спектром от комплексной амплитуды поля на дифракционном препятствии или экране.

Если на экран падает плоская волна с единичной комплексной амплитудой, то поле на экране будет как бы повторять коэффициент пропускания препятствия по амплитуде:

           (9.1.13)

Таким образом, фурье-образ комплексной амплитуды на экране - это фурье-образ коэффициента пропускания экрана:

           (9.1.14)

Следовательно, картина, наблюдаемая в задней фокальной плоскости оптической системы, пропорциональна фурье-образу коэффициента пропускания.