6.2. Матрица преобразования лучей

6.2.1. Общий вид матрицы преобразования (ABCD-матрица)

Выражение (6.1.3) для преобразования линейной и угловой координат луча, рассмотренные в параграфе 6.1, можно записать в матричной форме, тогда преобразование координат луча оптической системой можно представить в виде умножения некоторой матрицы на вектор входных координат луча:

(6.2.1)

Все свойства идеальной оптической системы полностью описываются матрицей преобразования лучей , называемой также гауссовой матрицей или ABCD-матрицей:

      (6.2.2)

Выражение (6.2.1) можно также записать в виде:

      (6.2.3)

где – вектор-столбец входных координат, – вектор-столбец выходных координат, – матрица, описывающая оптическую систему.

6.2.2. Геометрический смысл элементов матрицы преобразования

Рассмотрим луч с координатами , (рис.6.2.1).

Рис.6.2.1.Схема для нахождения элементов и матрицы преобразования.

Подставив в выражение (6.1.3) значения и , получим:

      (6.2.4)

Из рис.6.2.1 видно, что:

,

Отсюда с учетом того, что , можно получить выражения для и :

      (6.2.5)

Таким образом, подставив выражения (6.2.5) в (6.2.4), мы получим два элемента матрицы преобразования:

      (6.2.6)

Теперь рассмотрим луч с входной координатой () и выходной координатой () (рис.6.2.2).

Рис.6.2.2. Схема для нахождения элементов и матрицы преобразования.

Подставив в выражение (6.1.3) значения и , получим:

      (6.2.7)

Из рис.6.2.2 найдем входную и выходную линейные координаты:

      (6.2.8)

Из выражений (6.2.7) и (6.2.8) можно получить еще два элемента матрицы преобразования:

      (6.2.9)

Таким образом матрица преобразования имеет следующий вид:

(6.2.10)

Элемент матрицы зависит только от параметров оптической системы, а элементы , и зависят еще и от выбора опорных плоскостей.

Определитель матрицы преобразования

Определитель матрицы преобразования любой оптической системы равен единице:

(6.2.11)

Обратная матрица преобразования

По определению обратной матрицы должно выполняться следующее равенство:

      (6.2.12)

где – единичная матрица.

Обратная матрица преобразования описывает обратное преобразование (из выходных координат во входные):

      (6.2.13)

или

Обратная матрица преобразования имеет следующий вид:

      (6.2.14)

Условие сопряжения опорных плоскостей

В общем случае все элементы матрицы преобразования не равны нулю, но для случая сопряженных опорных плоскостей элемент . Для сопряженных опорных плоскостей элемент имеет значение линейного увеличения, а элемент - величина обратная элементу .

6.2.3. Виды матриц преобразования

Существуют два основных вида матриц преобразования, описывающих два простых преобразования – перенос луча в свободном пространстве и преломление луча на преломляющей поверхности или в оптической системе.

Матрица преломления

Рис.6.2.3. Преломление луча.

Для вывода матрицы преломления совместим опорные плоскости с главными плоскостями (, ). Из рисунка (6.2.3) видно, что . Поскольку опорные плоскости сопряжены, то и . Тогда , а поскольку определитель матрицы всегда равен единице , следовательно .

В данном случае матрица преобразования имеет смысл матрицы преломления:

(6.2.15)

Матрица преломления описывает преломление луча оптической системой, при этом у луча изменяется только угловая координата:

      (6.2.16)

Матрица переноса

Рис.6.2.4. Перенос луча.

При переносе луча изменяется только линейная координата. Из рис. 6.2.4 видно, что:

      (6.2.17)

Угловая координата не изменяется:

В данном случае матрица преобразования имеет смысл матрицы переноса:

(6.2.18)

где – приведенное расстояние между опорными плоскостями.

6.2.4. Матрица одной преломляющей поверхности

Рис.6.2.5. Преломляющая поверхность.

Рассмотрим рис.6.2.5. Из треугольников и можно вывести:

      (6.2.19)

Домножим оба выражения на и соответственно:

      (6.2.20)

Из закона преломления (3.1.5) следует, что , следовательно:

Угол можно найти из :

      (6.2.21)

Тогда, с учетом того, что , , можно получить итоговое выражение для преобразования угловой координаты луча при преломлении на сферической поверхности:

(6.2.22)

или



где – кривизна поверхности.

Поскольку в матрице преломления , элемент матрицы . Кроме того, , следовательно, оптическая сила сферической преломляющей поверхности:

(6.2.23)

В этом случае опорные плоскости совпадают с главными плоскостями, и составляют одну плоскость, касательную к поверхности.

Итак, матрица преломления сферической поверхности выглядит следующим образом:

(6.2.24)

6.2.5. Матрица зеркальной (отражающей) поверхности

Рассмотрим зеркальную поверхность (рис.6.2.6).

Рис.6.2.6. Зеркальная поверхность.

Если поверхность является отражающей, то , следовательно, оптическая сила зеркальной поверхности:       (6.2.25)

Тогда матрица преломления зеркальной поверхности:

      (6.2.26)

где – кривизна поверхности, – показатель преломления среды.

В случае плоского зеркала () матрица отражения единичная:

(6.2.27)

Следовательно, плоское зеркало не меняет хода луча (геометрический косинус изменяется, а оптический преломленный (отраженный) косинус остается прежним).