5.1. Непрерывное преобразование Фурье и его свойства

5.1.1. Одномерное преобразование Фурье

Пусть  – произвольная одномерная функция. Преобразование Фурье произвольной одномерной функции также является одномерной функцией и определяется следующим интегралом:

          (5.1)

где  – пространственная частота,  – Фурье-образ функции, F – оператор преобразования Фурье, – сокращенная запись преобразования Фурье.

Функция и её фурье-образ связаны обратным преобразованием Фурье:

          (5.2)

Преобразование Фурье является обратимым:

          (5.3)

5.1.2. Двумерное преобразование Фурье

Двумерное преобразование Фурье определяется аналогично для произвольной двумерной функции :

,          (5.4)

где  и  – частотные декартовы координаты,  – фурье-образ функции .

Обратное преобразование Фурье двумерной функции:

.           (5.5)

Использование преобразования Фурье в оптике

Преобразование Фурье является основой математического аппарата для описания дифракции светового поля (в том числе в оптических системах) и вычисления характеристик качества оптических систем [4]. В частности, комплексная амплитуда в изображении точки вычисляется как обратное преобразование Фурье от зрачковой функции , функция рассеяния точки вычисляется как квадрат модуля обратного фурье-преобразования от зрачковой функции , а оптическая передаточная функция вычисляется как прямое фурье-преобразование от функции рассеяния точки .

5.1.3. Основные свойства фурье-образов произвольной функции

В таблице 5.1 приведены основные свойства фурье-образа произвольной функции. Где ,  и – произвольные константы,  – произвольная функция, а  – её фурье-образ.

Функция	Фурье-образ

Таблица 5.1. Основные свойства фурье-образов произвольной функции

Значение фурье-образа в точке с координатой  можно представить как сумму всех значений функции, а значение функции в точке с координатой  можно представить как сумму всех значений фурье-образа (теорема о центральном значении):

,           (5.6)

Модуль фурье-спектра убывает пропорционально , где n – порядок дифференцируемости исходной функции. То есть, чем более гладкая функция, тем быстрее убывает ее фурье-спектр (теорема о производной):

          (5.7)

Количество энергии (сумма всех значений функции), содержащееся в функции после преобразования Фурье (сумма всех значений фурье-спектра) остается неизменной (теорема Парсеваля или закон сохранения энергии):

          (5.8)

Свойства симметрии преобразования Фурье

Свойства симметрии преобразования Фурье приводятся в таблице 5.2.

Таблица 5.2. Свойства симметрии преобразования Фурье

Фурье-образ функций, обладающих осевой симметрией, может быть найден с использованием преобразования Ганкеля:

          (5.9)

где  – радиус в полярной пространственной системе координат;  – радиус в полярной частотной системе координат, а  – функция Бесселя. Справедливо и обратное преобразование:

          (5.10)

Фурье-образ двумерной функций с разделяющимися переменными

Фурье-образ двумерной функций с разделяющимися переменными можно определить как произведение фурье-образов составляющих её множителей:

          (5.11)

В таблице 5.3 приведены аналитические выражения и графики некоторых одномерных функций и их фурье-образов, которые используются для представления функций с разделяющимися переменными.