2.3. Метод Гаусса

В формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса узлы интегрирования на отрезке  располагаются не равномерно, а выбираются таким образом, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени.

          (2.17)

Узлы являются корнями полинома Лежандра степени n, а веса вычисляются интегрированием полиномов Лежандра по формуле , где  – первая производная полинома Лежандра.

Узлы и веса, рассчитанные для отрезка , приводятся в таблице 2.2. Для интегрирования на произвольном частичном отрезке  необходимо пересчитать значения узлов для данного частичного отрезка :

          (2.18)

Квадратура Гаусса относится к квадратурам открытого типа. Это означает, что ни один и узлов не совпадает ни с одним из концов отрезка интегрирования a или b.

Веса квадратур Гаусса всегда положительны, и при увеличении числа узлов точность приближения почти всегда возрастает.

n	i
1	1	0	2
2	1	-0.5773503	1
	2	0.5773503	1
3	1	-0.7745967	0.5555556
	2	0	0.8888889
	3	0.7745967	0.5555556
4	1	-0.8611363	0.3478548
	2	-0.3399810	0.6521451
	3	0.3399810	0.6521451
	4	0.8611363	0.3478548
5	1	-0.9061798	0.4786287
	2	-0.5384693	0.2369269
	3	0	0.5688888
	4	0.5384693	0.2369269
	5	0.9061798	0.4786287
6	1	-0.9324700	0.1713245
	2	-0.6612094	0.3607616
	3	-0.2386142	0.4679140
	4	0.2386142	0.4679140
	5	0.6612094	0.3607616
	6	0.9324700	0.1713245

Таблица 2.2. Весовые коэффициенты метода Гаусса