вернуться в оглавление предыдущая глава предыдущий параграф следующий параграф следующая глава


2.3. Метод Гаусса

В формулах численного интегрирования Ньютона-Котеса используются равноотстоящие узлы. В случае квадратурных формул Гаусса узлы интегрирования на отрезке  располагаются не равномерно, а выбираются таким образом, чтобы при наименьшем возможном числе узлов точно интегрировать многочлены наивысшей возможной степени.

          (2.17)

Узлы являются корнями полинома Лежандра степени n, а веса вычисляются интегрированием полиномов Лежандра по формуле , где  – первая производная полинома Лежандра.

Узлы и веса, рассчитанные для отрезка , приводятся в таблице 2.2. Для интегрирования на произвольном частичном отрезке  необходимо пересчитать значения узлов для данного частичного отрезка :

          (2.18)

Квадратура Гаусса относится к квадратурам открытого типа. Это означает, что ни один и узлов не совпадает ни с одним из концов отрезка интегрирования a или b.

Веса квадратур Гаусса всегда положительны, и при увеличении числа узлов точность приближения почти всегда возрастает.

n i
1 1 0 2
2 1 -0.5773503 1
2 0.5773503 1
3 1 -0.7745967 0.5555556
2 0 0.8888889
3 0.7745967 0.5555556
4 1 -0.8611363 0.3478548
2 -0.3399810 0.6521451
3 0.3399810 0.6521451
4 0.8611363 0.3478548
5 1 -0.9061798 0.4786287
2 -0.5384693 0.2369269
3 0 0.5688888
4 0.5384693 0.2369269
5 0.9061798 0.4786287
6 1 -0.9324700 0.1713245
2 -0.6612094 0.3607616
3 -0.2386142 0.4679140
4 0.2386142 0.4679140
5 0.6612094 0.3607616
6 0.9324700 0.1713245

Таблица 2.2. Весовые коэффициенты метода Гаусса