2.2. Методы Ньютона-Котеса
2.2.1. Метод прямоугольников
Одним из простейших методов численного
интегрирования является метод прямоугольников. На частичном отрезке подынтегральную функцию заменяют полиномом Лагранжа нулевого порядка, построенным в одной точке. В качестве этой точки можно выбрать середину
частичного отрезка .
Тогда значение интеграла на частичном отрезке:
(2.6)
Подставив это выражение в (2.4), получим составную формулу средних прямоугольников:
(2.7)
Графическая иллюстрация метода средних прямоугольников представлена на рис.2.2(a). Из рисунка видно, что площадь
криволинейной трапеции приближенно заменяется площадью многоугольника, составленного из N прямоугольников. Таким образом, вычисление
определенного интеграла сводится к нахождению суммы N элементарных прямоугольников.
Формулу (2.7) можно представить в ином виде:
или (2.8)
Эти формулы называются формулой левых и правых прямоугольников соответственно. Графически метод левых и правых прямоугольников
представлен на рис.2.2(б, в). Однако из-за нарушения симметрии в формулах правых и левых прямоугольников, их погрешность значительно больше, чем в методе
средних прямоугольников.
а) средние прямоугольники |
б) левые прямоугольники |
в) правые прямоугольники |
Рис.2.2. Интегрирование методом прямоугольников |
2.2.2. Метод трапеций
Если на частичном отрезке подынтегральную функцию заменить полиномом Лагранжа первой степени:
(2.9)
то искомый интеграл на частичном отрезке запишется следующим образом:
(2.10)
Тогда составная формула трапеций на всем отрезке интегрирования примет вид:
(2.11)
Графически метод трапеций представлен на рис.2.3. Площадь криволинейной трапеции заменяется площадью многоугольника,
составленного из N трапеций, при этом кривая заменяется вписанной в нее ломаной. На каждом из частичных отрезков функция аппроксимируется прямой,
проходящей через конечные значения, при этом площадь трапеции на каждом отрезке определяется по формуле 2.10.
Погрешность метода трапеций выше, чем у метода средних прямоугольников. Однако на практике найти среднее значение на элементарном интервале можно только у функций, заданных аналитически (а не таблично), поэтому использовать метод средних прямоугольников удается далеко не всегда.
Рис.2.3. Интегрирование методом методом трапеций
2.2.3. Метод Симпсона
В этом методе подынтегральная функция на частичном отрезке аппроксимируется параболой, проходящей через три точки , , , то есть интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени:
(2.12)
Проведя интегрирование, получим:
(2.13)
Это и есть формула Симпсона или формула парабол. На
отрезке формула
Симпсона примет вид:
(2.14)
Если разбить отрезок интегрирования на четное количество 2N
равных частей с шагом ,
то можно построить параболу на каждом сдвоенном частичном отрезке и переписать выражения (2.12-2.14) без дробных индексов. Тогда формула Симпсона примет вид:
(2.15)
Графическое представление метода Симпсона показано на рис.2.4. На каждом из сдвоенных частичных отрезков заменяем дугу данной кривой параболой.
Рис.2.4. Метод Симпсона
2.2.4. Семейство методов Ньютона-Котеса
Выше были рассмотрены три схожих метода интегрирования функций – метод прямоугольников, метод трапеций, метод Симпсона.
Их объединяет общая идея: интегрируемая функция интерполируется на отрезке интегрирования по равноотстоящим узлам многочленом Лагранжа, для которого
аналитически вычисляется значение интеграла. Семейство методов, основанных на таком подходе, называется методами
Ньютона-Котеса.
В выражении коэффициенты правильнее называть весовыми коэффициентами. Величину ,
определяющую погрешность численного интегрирования, называют остатком.
Для семейства методов Ньютона-Котеса можно записать общее выражение:
(2.16)
где n – порядок метода Ньютона-Котеса, N – количество частичных отрезков, , , .
Из выражения (2.16) легко можно получить формулу прямоугольников для ,
формулу трапеций для , и формулу Симпсона для .
Коэффициенты могут быть заданы в табличной форме (таблица.2.1).
n |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
2 |
6 |
1 |
4 |
1 |
|
|
|
3 |
8 |
1 |
3 |
3 |
1 |
|
|
4 |
90 |
7 |
32 |
12 |
32 |
7 |
|
5 |
288 |
19 |
75 |
50 |
50 |
75 |
19 |
Таблица 2.1. Весовые коэффициенты метода Ньютона-Котеса
|