1. Методы численного дифференцирования функций

Вычисление производной численными методами имеет смысл либо, если аналитическое вычисление производной невозможно либо, если аналитическое выражение неизвестно, и функция задана набором точек.

1.1. Методы односторонней разности

Производная функции определяется выражением:

          (1.1)

Заменяя приращение dx на конечную величину Δx, называемую шагом дифференцирования, получаем выражение:

          (1.2)

Если дифференцируемая функция задана в виде непрерывной функции (рис.1.1), то для вычисления значения дифференциала необходимо получить значение функции  в точке  и в точке . После чего можно вычислить значение производной функции .

Рис.1.1.Непрерывная функция

Если функция задана выборкой, то есть набором значений функции в точках (рис.1.2), то выражение для численного дифференцирования (при условии, что x образуют возрастающую последовательность) можно переписать в виде:

          (1.3)

f1 x1 f2 x2 … … fi xi … … fn xn

Рис.1.2. Дискретная функция

Как видно из этих выражений, значение производной в точке  оценивается по значению функции в этой и в следующей точке . Такой способ можно условно назвать правосторонней разностью. Нетрудно записать выражение для левосторонней разности:

          (1.4)

или

          (1.5)

1.2. Метод двусторонней разности

С точки зрения точности методы левосторонней и правосторонней разностей равнозначны. Более точное значение дает метод двусторонней разности (что особенно справедливо для гладких функций). Теорема Лагранжа говорит о том, что уравнение:

          (1.6)

(при условии, что  – замкнутый промежуток, на котором функция  дифференцируема) имеет по меньшей мере один корень . Значение этого корня, вообще говоря, зависит от вида функции . Если она квадратичная, то уравнение первой степени и его корень лежит в точности на середине отрезка , то есть:

          (1.7)

Если a имеет постоянное значение, а b стремится к a, то один из корней, как правило (за исключением случаев, когда вторая производная  равна нулю или не существует), стремится к середине отрезка, то есть  . Поэтому более точное приближение к искомому значению производной функции в точке  можно получить, воспользовавшись формулами двусторонней разности:

          (1.8)

или, для функций заданных в виде выборки:

          (1.9)

Наглядно сравнить одностороннюю и двустороннюю разности можно представив производную, как тангенс угла наклона касательной к функции в точке x_i. На рисунке 1.3 точное значение производной обозначено как . В методе односторонней разности (рис.1.3, а) вместо касательной проводится прямая через точки x_i и x_i+1. Если в окрестностях точки x_i функция не гладкая, то значение производной () будет существенно отличаться от точного. В то время как в методе двусторонней разности, проведя прямую через точки  x_i-1 и x_i+1 (рис.1.3, б), можно получить значение производной практически совпадающее с точным.

1.3. Частное дифференцирование функции многих переменных

Отдельно следует отметить случай численного определения частных дифференциалов функций многих переменных. В этом случае все аргументы функции становятся константами кроме аргумента, по которому проводится дифференцирование, а требуемый порядок производной получается путем последовательного вычисления производных, вплоть до требуемого порядка:

          (1.10)

1.4. Производные высоких порядков

При вычислении производных высоких порядков производная (n)-го порядка считается первой производной от (n-1)-го порядка. Так вторая производная функции является первой производной от первой производной:

 или           (1.11)

Тогда выражение для вычисления производной примет вид:

  (1.12)