Приложение В. Аппроксимация показателей преломления по формуле Герцбергера

Дисперсионная формула – это аппроксимация, позволяющая описывать зависимость показателя преломления от длины волны n(λ). Для каждой оптической среды определяется набор коэффициентов, значения которых позволяют восстанавливать показатель преломления (рис.В.1).

Рис.В.1. Пример графика дисперсии для стекла К8

Существует несколько различных дисперсионных формул, в частности формула Герцбергера:

,          (В.1)

где , .

Формула Зелмейера:

          (В.2)

Формула Шотта:

          (В.3)

Формула Резника:

          (В.4)

где , , , , , , , , .

В лабораторной работе №4 предлагается использовать для аппроксимации показателя преломления формулу Герцбергера.

Для определения параметров  достаточно шести значений показателя преломления для каждого стекла, однако для повышения точности вычисления можно взять большее число известных показателей преломления.

Система уравнений в матричном виде для  показателей преломления выглядит следующим образом:

,          (В.5)

где , , ,
 – известные показатели преломления для длин волн ,  – количество известных показателей преломления,  – параметры уравнения Герцбергера.

Для учета погрешности в известных показателях преломления необходимо умножить обе части системы уравнения на диагональную матрицу весов , элементы которой обратно пропорциональны корню квадратному из погрешностей соответствующих показателей:

,          (В.6)

,

Решая систему уравнений при помощи метода наименьших квадратов, получим:

          (В.7)

В результате исследований были определены погрешности показателя преломления и соответствующие веса  (таблица В.1).

Таблица В.1. Весовые коэффициенты для различных длин волн