Учебное пособие по курсу "Основы оптики"

9.5. Влияние аберраций на ФРТ и ОПФ

Влияние малых аберраций (волновая аберрация составляет доли длин волн) на ФРТ проявляется в том, что часть энергии из центрального максимума переходит в кольца. В результате в центральном максимуме остается около 60-70% вместо 84%, при этом размеры центрального максимума сохраняются, а интенсивность в центре уменьшается (рис.9.5.1).

Рис.9.5.1. Влияние аберраций на ФРТ.

Аберрации разных типов по-разному влияют на вид пятна рассеяния (картину Эри). В случае симметричных аберраций (расфокусировка, сферическая) сохраняется радиальная симметрия пятна (рис.9.5.2.а). В случае несимметричных аберраций (кома, астигматизм) симметрия пятна нарушается (рис.9.5.2.б, рис.9.5.2.в).

а) симметричные аберрации

б) кома

в) астигматизм

Рис.9.5.2. Картины Эри для аберраций различных типов.

При дальнейшем увеличении аберраций сходство ФРТ с безаберрационной полностью теряется, и ее форма определяется картиной поперечных аберраций (точечной диаграммой). Практически вся энергия из центрального максимума перекачивается в кольца (в центральном максимуме остается меньше 40% энергии). Однако при этом сохраняется дифракционный узор с шагом 0.5 в канонических координатах.

9.5.1. Число Штреля

Поскольку при малых аберрациях часть энергии из центрального максимума перекачивается в кольца, уменьшается интенсивность в центральном максимуме. Обозначим значение ФРТ в ее максимуме при отсутствии аберраций , а при наличии аберраций (рис.9.5.3).

Рис.9.5.3. Число Штреля.

Число Штреля (критерий Штреля, Strehl ratio) показывает влияние аберраций на ФРТ:

(9.5.1)

Значение числа Штреля находится в пределах , энергия в кольца перекачивается в таком же соотношении. Если – оптическая система безаберрационная, если – система практически безаберрационная, поскольку уменьшение центрального максимума на 20% почти незаметно.

9.5.2. Критерий Релея для малых аберраций

Критерий или допуск Релея заключается в том, что если величина волновой аберрации (при условии что в системе присутствует только сферическая аберрация) не превосходит (рис.9.5.4), то число Штреля . Отсюда Релей распространил свой критерий и на другие типы аберраций.

Рис.9.5.4. Величина волновой аберрации.

Релеевский допуск на остаточные аберрации:

(9.5.2)

Однако расчеты показывают, что не для всех типов аберраций это справедливо. Кроме того, для более строгого анализа нужно проверить на сколько изменится число Штреля при или . Релеевский допуск точного ответа на этот вопрос не дает.

9.5.3. Формула Марешаля. Допуск Марешаля для малых аберраций

Французский оптик Марешаль получил свое аналитическое выражение и свой допуск в виде среднеквадратичного по зрачку значения волновой аберрации. Критерий Марешаля более универсальный, чем допуск Релея, он подходит для любых типов аберраций.

Рассмотрим вывод формулы Марешаля. Функция рассеяния точки, в соответствии с выражением (9.2.11):

      (9.5.3)

Значение ФРТ в ее центральном максимуме:

      (9.5.4)

Воспользовавшись выражением для зрачковой функции (9.2.3), получим:
      (9.5.6)

В случае малых аберраций , следовательно . Тогда при разложении функции в ряд, можно оставить только три члена, а остальные отбросить , отсюда:
      (9.5.7)

Тогда можно записать приближенное выражение для ФРТ:
      (9.5.8)

Введем обозначение для среднего значения волновой аберрации по зрачку:
      (9.5.9)

и среднего квадрата волновой аберрации:
      (9.5.10)

Тогда выражение (9.5.8) запишется в виде:

      (9.5.11)

Модуль комплексного числа вычисляется как сумма квадратов вещественной и мнимой частей , следовательно:

      (9.5.12)

Значение ФРТ в максимуме при отсутствии аберраций определяется выражением:

      (9.5.13)

Тогда формула Марешаля:

(9.5.14)

Величина называется дисперсией волновой аберрации по зрачку (дисперсия – это разность среднего квадрата и квадрата среднего значения):

      (9.5.15)

Формула Марешаля показывает, что важна не сама волновая аберрация, а ее изменение (деформация волнового фронта) по зрачку.

Средний квадрат деформации волнового фронта – это квадратный корень из дисперсии:

      (9.5.16)

Формула Марешаля дает возможность приблизительно оценить число Штреля, если известен средний квадрат деформации волнового фронта:

      (9.5.17)

Если , то, следовательно, , а допуск Марешаля на средний квадрат деформации волнового фронта:

(9.5.18)

Марешалевский допуск на остаточные аберрации справедлив для любых типов аберраций малой величины.

9.5.4. Влияние аберраций на ОПФ. Геометрически-ограниченные и дифракционно-ограниченные оптические системы

При наличии аберраций ОПФ оптической системы становится меньше, чем ОПФ безаберрационной системы. На графике ЧКХ можно показать, как аберрации влияют на форму кривой контраста (рис.9.5.4). Кривые ЧКХ в присутствии аберраций могут иметь сложную форму, но они никогда не превышают кривую безаберрационной ЧКХ.

Рис.9.5.5. Влияние аберраций на ЧКХ.

Дифракционно-ограниченные оптические системы имеют рабочий интервал частот, превышающий половину от предельной, то есть (рис.9.5.5). Качество изображения в таких системах определяется в основном явлениями дифракции и непосредственно зависит от отношения апертуры к длине волны . Остаточные аберрации должны оцениваться по критерию Марешаля (9.5.18). К дифракционно-ограниченным системам относятся, в частности, измерительные системы и системы, работающие с глазом.

К геометрически-ограниченным относятся оптические системы, рабочий интервал частот для которых не превосходит в канонических частотах (рис.9.5.5). Качество изображения таких систем определяется картиной поперечных аберраций и непосредственно не зависит от длины волны и апертуры. Степень коррекции геометрически-ограниченных систем оценивается поперечными аберрациями. К таким системам относятся, в частности, кино-, фото-, и телевизионные объективы.

Исследованию характеристик качества оптических систем посвящена лабораторная работа "Исследование качества изображения оптических систем".