9.2. Схема формирования оптического изображения

Существует два фактора, которые влияют на структуру и качество изображения в оптической системе: дифракция и аберрации. Эти факторы действуют совместно. Если аберрации малы и преобладает дифракция, то такие системы называются дифракционно-ограниченными. Если аберрации велики, и дифракция теряется на фоне аберраций, то такие системы называются геометрически-ограниченными (формирование изображения вполне корректно описывается с позиций геометрической оптики, без привлечения теории дифракции).

Рис.9.2.1. Схема формирования оптического изображения.

Рассмотрим формирование изображения некоторой точки (рис.9.2.1). Гомоцентрический пучок лучей выходит из точки , и после идеальной оптической системы сходится в точке . Наряду с пучками лучей можно также рассматривать сферические волновые фронты и . Действие реальной оптической системы сводится к следующим факторам:

• преобразование расходящегося пучка лучей (волнового фронта) в сходящийся,
• ограничение размеров проходящего пучка лучей или волнового фронта,
• ослабление интенсивности (энергии) проходящего поля,
• нарушение гомоцентричности пучка или сферичности волнового фронта, то есть изменение фазы проходящего поля.

Рассмотрим поле на выходной сфере (в области выходного зрачка). Волновой фронт близок к выходной сфере, но отличается от нее на величину волновой аберрации. Поле на волновом фронте . Оптический путь из центра предмета до волнового фронта для всех лучей одинаковый, так как волновой фронт – поверхность равного эйконала. Поскольку для формирования изображения важна разность фаз между выходной сферой и волновым фронтом, а не сама фаза, то можно принять, что фаза волнового фронта равна нулю . При небольших аберрациях амплитуда единичая, следовательно поле на волновом фронте . Набег фазы от выходной сферы до волнового фронта:

      (9.2.1)

где – расстояние между волновым фронтом и выходной сферы вдоль луча.

Поле на выходной сфере математически можно представить в виде:

      (9.2.2)

где – волновая аберрация, – зрачковая функция.

В выражении (9.2.2) учитывается одновременно ограничение пучков и наличие аберраций.

Зрачковая функция (pupil function, PF) показывает влияние оптической системы на прохождение электромагнитного поля от точки предмета до выходного зрачка и в общем случае в канонических координатах описывается выражением:

(9.2.3)

где – канонические зрачковые координаты, – функция пропускания по зрачку, – область зрачка в канонических координатах.

Теперь нужно перейти от поля на выходном зрачке к полю на изображении. Вблизи изображения геометрическая оптика не применима, поэтому для описания поля на изображении следует использовать теорию дифракции.

Рис.9.2.2. Формирование комплексной амплитуды в плоскости изображения.

Для вычисления комплексной амплитуды поля в плоскости изображения применим принцип Гюйгенса в форме интеграла Гюйгенса-Френеля. Рассматриваемая область находится вблизи центра выходной сферы (рис.9.2.2):

      (9.2.4)

Используя зрачковую функцию, выражение (9.2.4) можно записать в виде:

      (9.2.5)

Поскольку и , то множитель можно представить в виде . Множитель , следовательно его можно вынести за интеграл, и не учитывать, так как нас интересует только относительное распределение комплексной амплитуды. Тогда выражение (9.2.5) преобразуется так:

      (9.2.6)

можно выразить через и (рис.9.2.3).

Рис.9.2.3. Связь с радиусом выходной сферы и расстоянием
от выходной сферы до точки .

Отрезок , причем – для крайнего луча, а для остальных лучей: , . Теперь интеграл (9.2.6) можно записать так:

      (9.2.7)

Введем канонические (приведенные) координаты на предмете и изображении:

(9.2.8)

Тогда в канонических координатах получим:

      (9.2.9)

Так как зрачковая функция вне зрачка равна нулю, интегрирование происходит внутри зрачка. Комплексная амплитуда в изображении точки в канонических координатах, как следует из выражения (9.2.9), связана со зрачковой функцией через обратное преобразование Фурье:

(9.2.10)

Комплексная амплитуда поля в изображении точки есть обратное Фурье-преобразование от зрачковой функции в канонических координатах.

Функция рассеяния точки – это распределение не амплитуды поля, а интенсивности, то есть квадрата модуля комплексной амплитуды . Тогда для ФРТ можно получить следующее выражение:

(9.2.11)

Оптическую передаточную функцию также можно выразить в канонических координатах:

(9.2.12)

где – канонические пространственные частоты:

(9.2.13)

Канонические частоты безразмерные: . В этих координатах получаем простую связь зрачковой функции с оптической передаточной функцией:

      (9.2.14)

Это выражение в соответствии со свойством преобразования Фурье можно представить через автокорреляцию зрачковой функции:

(9.2.15)

где – площадь зрачка в канонических координатах.