9.3. Дифракционная структура изображения

9.3.1. Функция рассеяния точки в случае отсутствия аберраций

Предположим, что в оптической системе аберрации отсутствуют: . Тогда зрачковая функция оптической системы в соответствии с выражением (9.2.3) будет выглядеть следующим образом:

      (9.3.1)

где – область зрачка в канонических координатах.

Будем считать, что пропускание равномерно по зрачку, то есть . Тогда, поскольку в канонических координатах зрачок всегда круглый, выражение (9.3.1) можно записать следующим образом:

      (9.3.2)

То есть зрачковая функция равна единице в пределах круга, и нулю на всей остальной области, и следовательно, математически описывается при помощи функции :

      (9.3.3)

Чтобы получить функцию рассеяния точки при отсутствии аберраций, нужно взять обратное преобразование Фурье от безаберрационной зрачковой функции, то есть от функции :

(9.3.4)

где , – функция Бесселя первого рода, первого порядка.

Картина ФРТ для безаберрационной оптической системы (рис.9.3.1) состоит из центрального максимума диаметром 1.22 канонических единиц и побочных максимумов – колец с шагом, постепенно приближающимся к 0.5 канонических единиц. Безаберационная ФРТ симметрично относительно оптической оси. Центральный максимум содержит 83.8 всей энергии (его высота равна единице), первое кольцо – 7.2 (высота 0.0175), второе 2.8 (высота 0.0045), третье 1.4 (высота 0.0026), четвертое 0.9.

а) сечение

б) общий вид распределения интенсивности (картина Эри)

Рис.9.3.1. Функция рассеяния точки в отсутствии аберраций.

Центральный максимум ФРТ называется диском Эри (Airy). Диаметр диска Эри в реальных координатах на изображении:

      (9.3.5)
где – апертура осевого пучка.

Диск Эри в общем случае может быть не круглым, если меридиональная и сагиттальная апертуры различны.

Из выражения (9.3.5) следует, что поскольку апертура для изображения ближнего типа не может быть больше показателя преломления, изображение точки для ближнего типа не может быть меньше длины волны.

9.3.2. Влияние неравномерности пропускания по зрачку на ФРТ

На рис.9.3.2 показан вид ФРТ для различных функций пропускания. Если пропускание уменьшается к краям зрачка (2), то центральный максимум ФРТ расширяется, а кольца исчезают. Если пропускание увеличивается к краям зрачка (3), то центральный максимум сужается, а интенсивность колец увеличивается. Эти изменения по-разному влияют на структуру изображения сложного объекта, и, в зависимости от требований, используются различные функции пропускания, “накладываемые” на область зрачка. Это явление называется аподизацией.

а) функция пропускания по зрачку

б) функция рассеяния точки

Рис.9.3.2. Влияние неравномерности пропускания по зрачку на ФРТ.

9.3.3. Безаберационная ОПФ. Предельная пространственная частота

Оптическая передаточная функция вычисляется при помощи выражения для автокорреляции зрачковой функции (9.2.15). Для безаберрационной оптической системы волновая аберрация , тогда интеграл автокорреляции будет выглядеть следующим образом:

      (9.3.6)

где – область интегрирования, показанная на рис.9.3.3.

Рис.9.3.3. Области зрачков, смещенные относительно друг друга на .

Таким образом, безаберрационная ОПФ пропорциональна площади перекрытия двух зрачков , которая является функцией пространственных частот. Из рис.9.3.3 следует, что максимальная каноническая пространственная частота . Для более высоких частот площадь становится нулевой (рис.9.3.4).

Максимальной канонической пространственной частоте соответствует предельные реальные пространственные частоты:

,

(9.3.7)

Рис.9.3.4. Безаберрационная ОПФ.

Таким образом, для реальной оптической системы при отсутствии аберраций ОПФ не соответствует ОПФ идеальной системы, и всегда ограничена предельными частотами, обусловленными дифракцией света.