8.2. Описание отдельных типов аберраций

При изучении аберраций оптических систем принято рассматривать отдельные типы аберраций. Каждый тип аберраций определяет свою геометрию ошибок волнового фронта и соответствующего пучка лучей. Отдельные типы аберраций важно знать, в частности, при проектировании оптических систем, потому что в процессе коррекции аберраций при изменении конструктивных параметров отдельные аберрации ведут себя, как правило, совершенно по-разному и слабо зависят друг от друга.

Рассмотрим основные типы монохроматических аберраций - присущую им форму отклонения волнового фронта, графики аберраций и структуру пятна рассеяния. Для того чтобы лучше понять свойства различных типов аберраций, целесообразно сравнить их представление через степенной ряд с представлением по полиномам Цернике.

8.2.1. Дефокусировка

Разложение по степенным полиномам

Компонента волновой аберрации, соответствующая дефокусировке, имеет в степенном разложении вид:

             (8.2.1)

Данное выражение для волновой аберрации представляет собой описание сферической поверхности, как это видно из рисунка 8.1.1. Дефокусировка появляется при продольном смещении плоскости изображения, кроме того, различная дефокусировка для разных внеосевых пучков является следствием кривизны поверхности изображения по полю.

Рис. 8.2.1. Отклонение волнового фронта при дефокусировке.

Поперечные аберрации (рис.8.1.2), соответствующие дефокусировке, в канонических координатах выражаются следующим образом:

в сагиттальном сечении:

                   (8.2.2)

в меридиональном сечении:

                   (8.2.3)

Рис. 8.2.2. Поперечные аберрации при дефокусировке.

Как видно из графиков на рис.8.2.2, наклон прямых в обоих сечениях - сагиттальном и меридиональном - одинаковый. Этот наклон можно уменьшить до нулевого значения, если поставить плоскость изображения в точку, соответствующую центру кривизны волнового фронта - это будет положение наилучшего (сфокусированного) изображения.

Разложение по полиномам Цернике

Компонента дефокусировки при описании полиномами Цернике выглядит так:

             (8.2.4)

Наличие константы в описании определяет сдвиг сферы вдоль вертикальной оси (рис.8.2.3) таким образом, что графики поперечного сечения оказываются как бы усредненными. Это - следствие ортогональности полиномов Цернике.

Рис. 8.2.3. Отклонение волнового фронта при дефокусировке по Цернике.

8.2.2. Астигматизм

Разложение по степенным полиномам

Компонента волновой аберрации, соответствующая астигматизму, имеет в степенном разложении вид:

             (8.2.5)

Поверхность отклонения волнового фронта, соответствующая представленному выражению, является цилиндрической и показана на рис.8.1.4.

На рис.8.2.5 показана структура астигматического пучка лучей, где видны два фокуса - меридиональный и сагиттальный , а также показана точка идеального фокуса , находящаяся ровно посередине между астигматическими фокусами. В меридиональном фокусе сходятся лучи, лежащие в меридиональном (вертикальном) сечении, а в сагиттальном фокусе сходятся лучи, лежащие в сагиттальном (горизонтальном) сечении. В идеальном фокусе никакие лучи данного пучка не сходятся и поэтому эта точка является чисто математической.

Рис. 8.2.5 Структура астигматического пучка лучей.

Астигматизм - это такое искажение формы волнового фронта, когда его кривизна в меридиональном и сагиттальном сечениях различна, а в результате не существует ни одной точки, где бы пучок сходился весь.

Для полного степенного описания астигматического отклонения волнового фронта добавим дефокусировку:

             (8.2.6)

Если , то вместо цилиндрической поверхности отклонения волнового фронта мы получим описание поверхности двоякой кривизны (рис.8.2.6):

       (8.2.7)

Таким образом, при использовании степенного разложения, для полноты описания астигматической поверхности отклонения волнового фронта, имеющей две разные по знаку кривизны в двух взаимно перпендикулярных направлениях, необходимо взять два слагаемых степенного ряда: одно описывает степенной астигматизм (меридиональная кривизна отклонения волнового фронта), второе - дефокусировку. Если соотношение между и равно 0.5, то получается описание поверхности двоякой кривизны - седловидной поверхности, как показано на рис.8.2.6.

Разложение по полиномам Цернике

Компонента астигматизма при описании полиномами Цернике выглядит следующим образом:

             (8.2.8)

Как видим, в этом выражении отклонение волнового фронта описывается как поверхность двоякой кривизны сразу, без добавления описания дефокусировки. В этом снова проявляются свойства полиномов Цернике. Тем не менее, для анализа астигматизма добавим, как и в случае степенного описания, дефокусировку:

       (8.2.9)

Если менять значения коэффициента дефокусировки, то астигматизм остается неизменным, но плоскость изображения перемещается в продольном направлении:

• - плоскость изображения находится в точке ;
• - плоскость изображения находится посередине между меридиональным и сагиттальным фокусами в точке ;
• - плоскость изображения находится в точке .

Поперечные аберрации при астигматизме лучше рассматривать при различных положениях плоскости изображения.

Поперечные аберрации в плоскости, проходящей через точку

Поперечные аберрации в плоскости, проходящей через точку , то есть если , определяются следующими выражениями:

                   (8.2.10)

Графики поперечных аберраций для этого случая показаны на рис. 8.2.7.

Рис. 8.2.7. Графики поперечных аберраций при астигматизме,
если плоскость изображения проходит через идеальный фокус .

Как видим, в отличие от дефокусировки, у этих графиков в различных сечениях наклоны противоположны по знаку. При продольном перемещении плоскости изображения один из наклонов будет уменьшаться, а другой соответственно увеличиваться. То есть при астигматизме никакое изменение дефокусировки не может устранить поперечные аберрации полностью.

Поперечные аберрации в плоскости, проходящей через меридиональный фокус

Поперечные аберрации в плоскости, проходящей через меридиональный фокус , то есть если , определяются следующим образом:

                   (8.2.11)

Пятно рассеяния в этом случае имеет вид горизонтального отрезка длиной .

Поперечные аберрации в плоскости, проходящей через сагиттальный фокус

Поперечные аберрации в плоскости, проходящей через сагиттальный фокус , то есть если , определяются следующим образом:

                   (8.2.12)

Пятно рассеяния представляет собой вертикальный отрезок высотой .

Отсюда следует, что полиномы Цернике более логично описывают астигматизм, потому что коэффициент действительно описывает только астигматизм, а - только дефокусировку. Для описания астигматизма полиномами Цернике дефокусировка не требуется, а для описания в степенной форме приходится использовать комбинацию из двух коэффициентов, то есть в общем случае выполнение условия обязательно.

8.2.3. Кома

Разложение по степенным полиномам

Компонента волновой аберрации, соответствующая коме, имеет в степенном разложении вид:

            (8.2.13)

Форма отклонения волнового фронта при коме становится зеркально-симметричной относительно сагиттальной оси зрачка (рис.8.2.8).

На рис.8.2.9 изображена структура пучка лучей в меридиональном сечении при коме. Пучок лучей полностью теряет симметрию в меридиональном сечении, сохраняя ее в сагиттальном. Пятно рассеяния при коме имеет вид кометы с хвостом, от чего и произошло название этого вида аберраций.

Рис. 8.2.9 Структура пучка лучей в меридиональном сечении при коме.

Разложение по полиномам Цернике

Компонента комы при описании полиномами Цернике выглядит так:

      (8.2.14)

Аберрации оптической системы всегда измеряются по отношению к какой-то точке отсчета. Несмотря на то, что волновая аберрация одной и той же оптической системы есть одна и та же функция, все-таки при изменении точки отсчета координат мы получаем различные функции волновой аберрации с различной формой поверхности отклонения волнового фронта. Волновая аберрация есть разность между искаженным волновым фронтом и идеальной сферой сравнения. В зависимости от того, где находится центр кривизны сферы сравнения, при одном и том же искаженном волновом фронте мы получим различный характер волновой аберрации, то есть различные поверхности отклонения волнового фронта.

Степенное описание волновой аберрации комы соответствует тому, что центр кривизны сферы сравнения находится в точке , т.е. в точке идеального изображения (рис.8.2.9).

Описание по Цернике соответствует тому случаю, когда центр сферы сравнения находится где-то ниже точки , что, впрочем, зависит от знака коэффициента .

В реальных измерительных системах можно изменить положение центра сферы сравнения с помощью настройки и получить различный характер аберраций.

Структура пятна рассеяния при коме такова, что яркость по пятну распределена неравномерно, она убывает по направлению к широкому краю (рис.8.2.10).

Рис. 8.2.10 Точечная диаграмма пятна рассеяния.

На данном рисунке - точка идеального изображения, - смещение энергетического центра пятна (центра тяжести).

Таким образом, описание по степеням координат содержит в себе ненужное поперечное смещение энергетического центра по отношению к точке идеального изображения, которое в описании волновой аберрации по Цернике из компоненты комы вычитается.