4.1. Приближение коротких длин волн. Уравнение эйконала

Геометрическая оптика – это раздел оптики, в котором считается, что длина волны пренебрежимо мала . Основа геометрической оптики – это уравнение эйконала. Его можно получить из волнового уравнения для комплексной амплитуды (уравнения Гельмгольца) (1.3.26).

Вначале рассмотрим известные из математики тождества, справедливые для некоторой функции , заданной в экспоненциальной форме :

      (4.1.1)

      (4.1.2)

Таким образом:

      (4.1.3)

Пусть теперь – это комплексная амплитуда, которая представлена в виде:

      (4.1.4)

Тогда, применив преобразование (4.1.3), получим следующее выражение:

      (4.1.5)

отсюда:

      (4.1.6)

В итоге получим следующее уравнение:

      (4.1.7)

или:

      (4.1.8)

Поскольку в левой части уравнения (4.1.8) – комплексное число, то равенство нулю правой части предполагает равенство нулю как вещественной, так и мнимой частей этого комплексного числа. Нас интересует вещественная часть:

      (4.1.9)

Перепишем это уравнение в виде:

где , или:

      (4.1.10)

Применим к уравнению (4.1.10) приближение коротких длин волн. Если длина волны стремится к нулю , то в правой части уравнения получается величина, близкая к нулю. Отсюда можно получить уравнение эйконала:

(4.1.11)

или:

      (4.1.12)

Из уравнения эйконала следует, что геометрическая оптика применима только для коротких длин волн. Чем короче длина волны, тем точнее приближение геометрической оптики.