1.3. Математическое описание электромагнитных волн

Распространение электромагнитного поля в пространстве – это волновой процесс, описание которого можно получить из уравнений Максвелла. Уравнения Максвелла описывают свойства электромагнитных волн в наиболее общем случае, но их непосредственное использование не всегда удобно. Поэтому для случая линейных и однородных сред можно получить более простые волновые уравнения, из которых следуют все законы геометрической оптики.

1.3.1. Волновые уравнения

В оптике часто рассматривают изменение электрического и магнитного полей независимо друг от друга, и тогда векторный характер поля не является существенным, а электромагнитное поле можно рассматривать и описывать как скалярное (подобно звуковому полю). Скалярная теория значительно проще векторной, и вместе с тем дает возможность достаточно глубоко анализировать распространение световых пучков и процессы образования изображения в оптических системах. В геометрической оптике скалярная теория широко используется именно благодаря тому, что электрическое и магнитное поля в этом случае могут быть описаны независимо друг от друга, а волновые уравнения одинаковы для векторного и скалярного полей.

Рассмотрим вывод волновых уравнений непосредственно из уравнений Максвелла. Возьмем уравнение для ротора электрического поля, определяемого через производную по времени от магнитной индукции:

Векторно домножим это уравнение на :

Воспользовавшись выражением (А.13) из Приложения А, получим:

Так как дивергенция электрического поля в диэлектрической среде , то в однородной среде , что следует из уравнений Максвелла (4, 5). Тогда получим волновое уравнение для электрической составляющей поля:

(1.3.1)

или

Поскольку , одно векторное уравнение распадается на три скалярных уравнения:

      (1.3.2)

Рассуждая аналогичным образом, можно получить волновое уравнение для магнитной составляющей поля:

(1.3.3)

Поскольку , то это векторное уравнение также распадается на три скалярных уравнения:

      (1.3.4)

Из уравнений Максвелла следует, что каждая из составляющих , , вектора подчиняется абсолютно одному и тому же скалярному уравнению. Поэтому, если требуется знать изменение только какой-нибудь одной из составляющих вектора , мы можем рассматривать векторное поле как скалярное. Перед тем, как окончательно перейти к скалярной теории, следует заметить, что составляющие вектора не являются независимыми функциями, что вытекает из условия . Поэтому, хотя скалярные волновые уравнения являются следствием уравнений Максвелла, обратно перейти от них к уравнениям Максвелла нельзя.

Пусть скалярная величина – это любая из составляющих электрического вектора: (, или ). Иными словами, это возмущение поля в какой-то точке пространства в какой-то момент времени . Тогда можно записать волновое уравнение в общем виде:

(1.3.5)

где – вторая производная возмущения по пространственным координатам,

– вторая производная возмущения по времени,

Смысл этого уравнения заключается в том, что волна образуется тогда, когда у некоторого возмущения вторая производная по пространственным координатам пропорциональна второй производной по времени.

Можно показать, что скорость распространения волны для диэлектриков связана с электрической и магнитной проницаемостями среды следующим образом:

      (1.3.6)

следовательно, скорость распространения волны в пространстве определяется так:

      (1.3.7)

Тогда общий вид волнового уравнения можно записать следующим образом:

      (1.3.8)

Волновое уравнение для одной оси координат:

      (1.3.9)

Отношение скорости света в вакууме к скорости света в среде называется показателем преломления данной среды по отношению к вакууму (index of refraction):

(1.3.10)

1.3.2. Монохроматическое поле

Монохроматическое поле – это поле, зависящее от времени по гармоническому закону (рис.1.3.1):

(1.3.11)

где – амплитуда возмущения (функция пространственных координат),
– циклическая частота изменения поля во времени,
– фаза поля (функция пространственных координат).

Рис.1.3.1. Изменение монохроматического поля во времени.

Монохроматическое поле также характеризуется периодом колебаний , или частотой :

,       (1.3.12)

причем циклическую частоту можно выразить через частоту :

,       (1.3.13)

Гармоническую волну характеризуют также пространственный период – длина волны :

 ,   или или    (1.3.14)

и волновое число:

      (1.3.15)

Излучение с определенной длиной волны обладает соответствующим цветом (рис.1.3.2).

Рис.1.3.2. Спектр видимого излучения.

Постоянными характеристиками, не зависящими от показателя преломления, для монохроматического поля являются: частота , циклическая частота и период колебаний . Длина волны и волновое число меняются в зависимости от показателя преломления, так как меняется скорость распространения света в среде . Итак, частота в среде всегда сохраняется, а длина волны изменяется. Длину волны и волновое число в некоторой среде с показателем преломления можно определить так:

      (1.3.16)

где – длина волны в вакууме, – волновое число в вакууме.

Иногда при описании монохроматического поля вместо фазы используют другие понятия. Введем в выражение для волнового возмущения волновое число вместо циклической частоты :

      (1.3.17)

Тогда волновое возмущение запишется так:

(1.3.18)

где – это эйконал поля:

,

(1.3.19)

Слово “эйконал” происходит от греческого слова (эйкон – образ). В русском языке этому соответствует слово “икона”.

В отличие от фазы поля эйконал более удобная величина для оценки изменения фазы от луча к лучу, так как непосредственно связан с геометрической длиной хода луча.

Оптическая длина луча (optical path difference, OPD) – это произведение показателя преломления на геометрическую длину пути .

Приращение эйконала равно оптической длине луча:

(1.3.20)

Если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : ;
если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : ;
если фаза изменяется на , то эйконал изменяется на : .

Эйконал имеет огромное значение в теории оптического изображения, так как понятие эйконала позволяет, во-первых, описать весь процесс образования изображения с позиций волновой теории света, а во-вторых, наиболее полно проанализировать искажения передачи изображения оптическими приборами. Теория эйконала, разработанная в XIX веке Петцвалем, Зейделем и Шварцшильдом, явилась важным фундаментальным достижением геометрической оптики, благодаря которому стало возможным создание оптических систем высокого качества.

1.3.3. Комплексная амплитуда

Гармонические колебания удобно описывать через комплексную амплитуду. Для этого применяют экспоненциальное представление комплексных чисел:

      (1.3.21)

где – действительная часть, а – мнимая часть комплексной функции.

Представим, что монохроматическое поле (1.3.18) – это действительная часть от некоторой функции:

      (1.3.22)

где составляющая зависит только от пространственных координат, а составляющая зависит только от времени.

Пусть – комплексная амплитуда поля, то есть функция только пространственных координат:

(1.3.23)

где – вещественная амплитуда (или просто амплитуда).

Если вещественная амплитуда волны не зависит от пространственных координат, то такая волна называется однородной волной.

Тогда эйконал поля выразим так:

(1.3.24)

где – фаза поля.

Удобство использования такой записи заключается в простоте сложения полей. Допустим, имеются два поля: , и . При сложении полей их комплексные амплитуды складываются, а временной экспоненциальный множитель можно вынести за скобки и не учитывать:

      (1.3.25)

Таким образом, можно считать, что комплексная амплитуда полностью описывает монохроматическое поле, так как она объединяет амплитуду и эйконал.

1.3.4. Уравнение Гельмгольца

Если поле монохроматическое, то дифференцирование по времени, сводится к умножению скалярной амплитуды на мнимый множитель . Таким образом, если подставить в волновое уравнение (1.3.5) описание монохроматического поля (1.3.23), то после преобразований мы получим волновое уравнение для монохроматического поля, в которое будет входить только комплексная амплитуда (уравнение Гельмгольца).

Уравнение Гельмгольца (Helmgolz equation):

(1.3.26)

или