Приложение А. Дифференциальные операторы математической теории поля

Математический аппарат, применяемый в теории электромагнитного поля – это теория скалярного и векторного поля. Предмет этого раздела математики – скалярные (А.1) и векторные (А.2) функции от трех пространственных переменных (радиус-вектора точки в пространстве):

        (А.2)

В соотношениях теории поля используются дифференциальные операторы дифференцирования по времени (например, ) и по пространственным координатам. Операторы дифференцирования по пространственным координатам могут быть векторами или скалярами, с которыми можно производить все известные из векторной алгебры действия, в частности, векторное произведение (А.3), скалярное произведение (А.4) и смешанное произведение (А.5):

        (А.3)

        (А.4)

        (А.5)

Дифференциальные операторы 1-го порядка

Оператор дифференцирования по пространственным координатам является вектором:

        (А.6)

Применяя оператор к скалярному или векторному полю, можно получить следующие скалярные и векторные величины:

        (А.7)

        (А.8)

        (А.9)

Результаты выражений (А.7) и (А.9) – векторы, а результат выражения (А.8) – скаляр.

Дифференциальные операторы 2-го порядка

Оператор называется оператором Лапласа:

        (А.10)

Применение этого оператора к скалярному полю дает скалярную величину (А.11), а к векторному – векторную (А.12):

        (А.11)

        (А.12)

Основные математические тождества теории поля

Все рассмотренные соотношения широко используются в оптике для описания светового поля, вывода уравнений и законов геометрической оптики.