Приложение Г. Свойства математических функций
Преобразование графиков функций
Линейным преобразованием функции называется преобразование самой функции и/или ее аргумента к виду , а также преобразование, содержащее модуль аргумента и/или функции.
Рассмотрим типовые преобразования.
Симметричное отображение
График функции получается симметричным отображением графика относительно оси OY.
График функции получается симметричным отображением графика относительно оси ОХ.
![](images/image460.png)
Рис.Г.1. Симметричное отображение функции относительно оси ОY
![](images/image459.png) ![](images/image461.png)
Рис.Г.2. Симметричное отображение функции относительно оси ОХ
Смещение
График функции получается параллельным переносом графика функции вправо вдоль оси OX на расстояние b, если , и в отрицательном направлении вдоль оси OX, если .
![](images/image459.png) ![](images/image464.png) ![](images/image465.png)
Рис.Г.3. Смещение функции вдоль оси ОХ
График функции получается параллельным переносом графика функции вверх вдоль оси OY на расстояние b, если , и вниз вдоль оси OY, если .
![](images/image459.png)
![](images/image467.png) ![](images/image468.png)
Рис.Г.4. Смещение функции вдоль оси ОY
Масштабирование
График функции , ( ) получается сжатием графика вдоль оси OX к оси OY в раз. График функции , ( ) получается растяжением графика вдоль оси OX к оси OY в раз.
![](images/image459.png)
![](images/image473.png) ![](images/image474.png)
Рис.Г.5. Масштабирование функции вдоль оси ОХ
График функции , ( ) получается растяжением графика вдоль оси OY от оси OX в раз. График функции , ( ) получается сжатием графика вдоль оси OY от оси OX в раз.
![](images/image459.png)
![](images/image478.png) ![](images/image479.png)
Рис.Г.6. Масштабирование функции вдоль оси ОY
Отражение
График функции получается из графика функции симметричным отражением части графика функции , с отрицательным значением относительно оси OY вправо.
График функции получается симметричным отражением отрицательной части графика функции относительно оси OX на верхнюю полуплоскость.
![](images/image459.png) ![](images/image483.png)
Рис.Г.5. Отражение функции относительно оси ОY
![](images/image484.png) ![](images/image485.png)
Рис.Г.6. Отражение функции относительно оси ОХ
Последовательность преобразований
Если в функции присутствует несколько преобразований, последовательность преобразований аргумента происходит в “обратном” порядке по сравнение с обычными арифметическими действиями, то есть вначале происходит смещение, а потом масштабирование. Преобразование функции происходит в “правильном” порядке, в соответствии с последовательностью арифметических действий. Перед преобразованием графика функция приводится к виду .
Рассмотрим пример. Пусть дана некоторая функция . Требуется построить график функции . В таблице Г.1 приводится последовательность действий для построения.
Таблица Г.1. Последовательность действий преобразования графика функции
|
Действие над графиком |
График |
1 |
Функция . |
![](images/image488.png) |
2 |
Выражение приводим к виду
![](images/image489.png) |
|
3 |
Смещение графика влево на 2 |
![](images/image490.png) |
4 |
Растяжение графика вдоль оси OX в 2 раза |
![](images/image491.png) |
5 |
Растяжение графика вдоль оси OY в 1.5 раза |
![](images/image492.png) |
Свойства дельта-функции
Дельта-функция, или функция Дирака определяется следующим образом:
(Г.1)
При этом
(Г.2)
То есть, эта функция не равна нулю только в точке , где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности был равен 1. Функция стремится к бесконечности в точке , что на графике обычно отображается в виде стрелки единичной высоты (рис.Г.7).
![](images/image496.png)
Рис.Г.7. Дельта-функция
Дельта-функция обладает несколькими интересными свойствами.
Произведение некоторой произвольной функции и смещенной на величину a дельта-функции , равно смещенной дельта-функции , умноженной на значение функции в точке :
(Г.3)
Рис.Г.8. Произведение дельта-функции и произвольной функции
Интеграл произведения некоторой произвольной функции и смещенной на величину a дельта-функции , равен значению функции в точке :
(Г.4)
Свертка некоторой произвольной функции и смещенной на величину a дельта-функции , равна самой функции, смещенной на величину :
(Г.5)
Свертка
Свертка двух функций определяется как интеграл:
(Г.6)
Геометрический смысл свертки – функция площади пересечения графиков двух функций, в каждой точке смещения одной из функций от до + (рис.Г.9).
![](images/image506.png)
Рис.Г.9. Свертка
Свойства свертки:
(Г.7)
(Г.8)
Свертка с некоторыми функциями:
(Г.9)
(Г.10)
Тригонометрические функции
Основные свойства тригонометрических функций, которые могут пригодиться при выполнении заданий.
Основное тригонометрическое тождество:
(Г.11)
Свойства четности:
, (Г.12)
Формулы двойного угла:
, (Г.13)
Формула Эйлера:
(Г.14)
|