Восстановления изображений на основе обратной фильтрации

Математическую модель формирования некогерентного изображения можно записать в виде выражения с четырьмя преобразованиями Фурье:

В частотных координатах это выражение можно переписать следующим образом:

где  – спектр предмета,  – спектр изображения,  – оптическая передаточная функция.

Оптическую передаточную функцию можно представить, как произведение всех ОПФ каскада преобразователей, составляющих моделируемый прибор:

Каскад составляют такие преобразователи, как смаз , вибрации , двоение и другие. Все они ухудшают качество формируемого изображения. Если , то МПФ этих преобразователей выглядит следующим образом:

Рис. 1. График МПФ смаза, двоения и вибрации

Возникает вопрос: можно ли, зная характеристики искажающих звеньев, улучшить качество изображения? Ведь достаточно добавить в каскад звено, выполняющее обратное преобразование с передаточной функцией:

Тогда, домножение ОПФ на обратную функцию приведет к преобразованию приведенного выше выражения:

.

То есть спектр итогового изображения будет подобен спектру исходного предмета. Возможно ли это? В общем случае нет по следующим причинам:

1. Если ОПФ имеет точки, в которых , то восстанавливающий преобразователь должен иметь ОПФ, в которой в этих точках . Все известные нам ОПФ имеют такие точки. Информация о предмете на частотах, в которых значение ОПФ близко к 0, безвозвратно утеряна. Хотя эти области небольшие, но все-таки построить ОПФ, полностью восстанавливающую исходный предмет, невозможно.
2. Регистрируется интенсивность изображения, а не его спектр. Информация о фазе спектра изображения также оказывается утеряна. Таким образом, восстановление ампдитудно-фазовых предметов методом обратной фильтрации также невозможно.

Хотя в некоторых случаях можно добиться улучшения качества изображения путем обработки изображений, построенной на этих принципах. Такие методы называются методы обратной фильтрации. Обратная фильтрация чаще всего выполняется на компьютере численными методами, но может быть выполнена и оптическими методами (методами Фурье-оптики).

Рассмотрим обратную фильтрацию на примере изображения искаженного смазом. Оптическая передаточная функция смаза определяется выражением:

.

Попытаемся построить ОПФ восстанавливающего преобразователя:

.

Рис. 2. МПФ восстанавливающего преобразователя для смаза

В области целых значений эта функция уходит в бесконечность. Удобнее представить её в виде произведения двух функций:

.

Тогда, первая часть восстанавливающей функции представляет собой прямую:

Рис. 3. Первая часть восстанавливающей функции

После умножения из выражения передаточной характеристики смаза превратится в синус и ОПФ всего прибора будет иметь вид синусоиды, а это ОПФ искажения подобного двоению. Таким образом путем обратной фильтрации вместо искажения типа смаз получили искажение типа двоения. Если объект мал, а смаз велик, то для оценки формы и размеров объекта и в некоторых других задачах такой фильтрации достаточно.

Рис. 4. Смаз и двоение изображения

Если смаз мал по сравнению с объектом, то такое воздействие на спектр не приведет к раздельному изображению двоящегося объекта. Дальнейшая модификация ОПФ восстанавливающего преобразователя заключается в следующем. Для того, чтобы убрать двоение изображения, можно применить преобразователь со следующей ОПФ:

.

Рис. 5. Преобразователь для устранения двоения

Тогда синус меняет отрицательные части на положительные и мы избавимся от двоения. Итоговая ОПФ каскада будет выглядеть следующим образом:

Рис. 6. Итоговая ОПФ каскада преобразователей

Эта ОПФ отличается от ОПФ идеального прибора , тем, что есть участки с отсутствующими частотами, но во многих случаях это не важно. На практике гораздо важнее восстановить форму и размеры предмета.

ОПФ восстанавливающего преобразователя в данном случае определяется выражением:

.

Рис. 7. ОПФ восстанавливающего преобразователя

Методы обратной фильтрации имеют ряд недостатков:

1. При синтезе восстанавливающего фильтра не учитывается факт влияния объектов, расположенных вне поля зрения объектива, на значение яркости на краях искаженного изображения. При восстановлении реально искаженных изображений таким фильтром возникают краевые эффекты, компенсация которых является отдельной задачей при реализации алгоритмов восстановления изображения на основе пространственной фильтрации.
2. На практике изображение обычно бывает зашумлено. Это связанно с особенностями регистрации. Полное выражение, определяющее спектр изображения, имеет следующий вид:
   
   
   
   где  – спектр функции шума . Обратная фильтрация приведет к тому, что спектр шума будет отмасштабирован:
   
   
   Это означает, что на частотах, в которых значение невелико (а это и есть высокие частоты, характерные для шума), значение спектра существенно возрастет. Изображение, которое должно быть восстановлено, окажется существенно зашумлено.

Исходное изображение	Расфокусировка и обрезание краев
Восстановленное изображение	Восстановленное зашумленное изображения

Рис. 8. Пример восстанавления изображений

Исходное изображение
Расфокусировка и обрезание краев	Восстановленное изображение

Рис. 9. Пример восстанавления изображений

На рисунке приведены результаты восстановления изображений инверсным фильтром. Исходные изображения размером элементов было подвергнуто дефокусировке с последующим "обрезанием" краев до размеров элементов. Практически идеальное восстановление изображения объясняется тем, что объекты наблюдаются на фоне постоянной яркости и расположены в центре кадра. Наличие даже относительно слабого шума приводит к появлению интенсивных шумовых составляющих на выходе инверсного фильтра, полностью разрушающих изображение. К дефокусированному изображению был добавлен аддитивный шум. Из восстановленного изображения видно, что даже при малом уровне шума метод инверсной фильтрации дает очень плохой результат.

Изображение может иметь такие свойства, что восстановить его инверсным фильтром просто не удастся из-за краевых эффектов.