Общие понятия фильтрации изображений

Изображения, сформированные различными оптико-электронными системами и зарегистрированные с помощью разнообразных приёмников искажаются действием помех различного характера. Искажения изображения вносятся всеми компонентами изображающего прибора, начиная с осветительной системой (например, неравномерность освещенности предмета). Искажения, которые вносит оптическая система, известны еще на этапе её проектирования и называются аберрации. Искажения, которые вносят электронные приёмники излучения, например ПЗС-матрицы, называются электронный шум. Помехи затрудняет визуальный анализ изображения и его автоматическую обработку.

Ослабление действия помех достигается фильтрацией. При фильтрации яркость (сигнал) каждой точки исходного изображения, искаженного помехой, заменяется некоторым другим значением яркости, которое признается в наименьшей степени искаженным помехой. Для выполнения фильтрации необходимо выработать принципы таких преобразований, которые основываются на том, что интенсивность изображения изменяется по пространственным координатам медленнее, чем функция помех. В других случаях, наоборот, признаком полезного сигнала являются резкие перепады яркости.

В методах фильтрации при оценке реального сигнала в некоторой точке кадра принимают во внимание некоторое множество (окрестность) соседних точек, воспользовавшись определенной похожестью сигнала в этих точках. Понятие окрестности является достаточно условным. Окрестность может быть образована лишь ближайшими по кадру соседями, но могут быть окрестности, содержащие достаточно много и достаточно сильно удаленных точек кадра. В этом случае, степень влияния (вес) далеких и близких точек на решения, принимаемые фильтром в данной точке кадра, будет совершенно различной. Таким образом, идеология фильтрации основывается на рациональном использовании данных как из рабочей точки, так и из ее окрестности.

При решении задач фильтрации используют вероятностные модели изображения и помехи, и применяют статистические критерии оптимальности. Это связано со случайным характером помехи и стремлением получить минимальное в среднем отличие результата обработки от идеального сигнала. Многообразие методов и алгоритмов фильтрации связано с большим разнообразием математических моделей сигналов и помех, а также различными критериями оптимальности.

Пусть  – значение яркости изображения – полезного сигнала на пересечении i-ой строки и j-го столбца, а наблюдаемое на входе фильтра изображение описывается моделью:

Здесь  – значение помехи в точке с координатами (i,j), f() – функция, описывающая взаимодействие сигнала и помехи, а I и J – число строк и столбцов в кадре соответственно.

На рисунке 1 показаны примеры окрестностей различных типов, изображенные в виде совокупностей точек. Центром окрестностей, рабочей точкой, в которой осуществляется обработка, является точка с координатами (i,j).

а)	б)	в)

Рис. 1 Примеры окрестностей различных видов

В зависимости от типа окрестности различают каузальную (а), некаузальную (б) и полукаузальную (в) фильтрацию изображений. Понятие каузальности (причинно-следственной зависимости) связывают с соотношением координат текущей точки и точек, входящих в окрестность. Если обе координаты (номер строки и номер столбца) всех точек окрестности не превышают соответствующих координат текущей точки, то окрестность и использующая ее обработка называются каузальными. Если точки окрестности удовлетворяют принципу каузальности, фильтрация, опирающаяся на использование такой окрестности, называется некаузальной. Если среди точек окрестности есть точки, координаты которых не превышают рабочую точку в одном направлении, но превышают её в другом, то фильтрация является полукаузальной фильтрацией.

При линейной фильтрации выходной эффект определяется линейной комбинацией входных данных:

.

В этом выражении  – результат фильтрации полезного сигнала в точке кадра с координатами (i,j), S – множество точек, образующих окрестность,  – весовые коэффициенты, совокупность которых представляет собой двумерную импульсную характеристику (ИХ). Если область S конечна, то импульсная характеристика имеет конечную длину и фильтр называется КИХ-фильтром. В противном случае импульсная характеристика имеет бесконечную длину, а фильтр называется БИХ-фильтром. Импульсная характеристика не зависит от координат точки, в которой определяется выходной эффект. Процедуры обработки изображений, обладающие свойством независимости от координат, называются однородными (изопланатичными).

Наиболее распространенным критерием оптимальности, применяемым для оценки качества обработки, является критерий минимума среднего квадрата ошибок. Применительно к фильтрации запишем его выражение в виде:

где  – символ математического ожидания. Отыскание оптимального фильтра заключается в определении его ИХ таким образом, чтобы средний квадрат ошибки , выражающей различие между сигналом и оценкой, формируемой фильтром, был минимальным.

Очень часто при обработке стремятся сохранить среднюю яркость изображения. Математическое ожидание от обеих частей уравнения фильтрации можно записать следующим образом:

где принято, что средняя яркость входного изображения не зависит от координат и, как результат, получено, что и средняя яркость выходного изображения также постоянна во всех точках кадра. Сохранить среднюю яркость изображения удается при выполнении равенства

которое является дополнительным требованием к импульсной характеристике фильтра.

Потенциально наилучшие результаты фильтрации, достигаются при использовании некаузального принципа, поскольку этот принцип основан на применении абсолютно всех исходных данных при обработке каждой точки кадра.