Преобразование Фурье

Интегралы свертки и автокорреляции

Рассмотрим два важных с точки зрения фурье-оптики математических понятия: свертку и автокорреляцию. Они применяются в оптике при моделировании и анализе изображений. В частности, например распределение интенсивности по изображению, при определенных условиях, может быть рассчитано, как свертка функции предмета и функции рассеяния точки. Свертка двух функций f(x) и g(x) является функцией , определяемой следующим образом:

Свертка обозначается символом , т.е. .

Если существует интеграл свертки, то справедливы следующие равенства:

,
,
.

Под автокорреляцией некоторой функции f(x) понимается свертка функции самой с собой. То есть автокорреляция . Так, например, ОПФ есть автокорреляция зрачковой функции.

Преобразование Фурье

Обычно в курсах оптики при рассмотрении дифракционных задач применяется принцип Гюйгенса–Френеля. Фронт волны (или другая поверхность) разбивается на элементарные площадки, излучающие вторичные сферические волны. Суммирование этих волн позволяет построить дифракционное изображение. В то же время во многих задачах, связанных с распространением света, более естественно и удобно вместо принципа Гюйгенса–Френеля использовать метод Рэлея, который состоит в разложении волнового поля не по сферическим, а по плоским волнам.

Важное преимущество разложения по плоским волнам состоит в том, что оно основано на преобразовании Фурье. Его математический аппарат позволяет применять для описания оптических явлений радиофизический язык и перенести в оптику многие идеи, возникшие первоначально в радиофизике. Метод аналогий на основе общих математических моделей позволяет систематизировать широкий круг волновых явлений. Такие известные оптические методы как голография, пространственная фильтрация, метод фазового контраста и т.д. имеют хорошо разработанные радиофизические аналоги. Им отведено большое место в литературе, установилась терминология, выработаны схемы решения типичных задач.

Математическое содержание метода Фурье сводится к представлению произвольных функций в виде дискретной или непрерывной совокупности гармонических функций. Такое представление играет исключительную роль в линейных физических задачах. В радиофизике обычно интерес представляют электрические сигналы, заданные в виде функций времени f(t). В широком круге задач когерентной оптики основной интерес представляет не временной ход процессов, а пространственная структура поля, заданная в некоторой плоскости в виде функции координат f(х, у), или в простейшем (одномерном) случае – в виде функции одной координаты f(x) , называемой комплексной амплитудой поля. Фурье-разложение функции f(x) позволяет представить волновое поле в виде совокупности плоских волн, что упрощает решение многих задач распространения и дифракции волн. С точки зрения математической теории Фурье-преобразования физический смысл аргумента функции f (время t , или координата x ) не играет роли.

В курсах математики доказывается, что любую периодическую функцию f(t) периода T можно представить в виде дискретного ряда Фурье:

где  – круговая частота n-ои гармонической составляющей, С_n – комплексная амплитуда n-ой гармоники:

Совокупность коэффициентов С_n называют спектром функции f(t); при этом есть амплитуда гармоники частоты , a  – относительный фазовый сдвиг.

На практике в большинстве случаев приходится сталкиваться с непрерывными функциями, и в общем случае, прямое преобразование Фурье определяется интегралом следующего вида:

При этом называется Фурье-образом (или спектром) функции f(x). Преобразование Фурье является обратимым, то есть если по функции f(x) был рассчитан ее Фурье-образ , то по Фурье-образу можно однозначно восстановить исходную функцию f(x). Под обратным преобразованием Фурье понимают интеграл вида:

Как видно, прямое и обратное преобразования Фурье отличаются друг от друга знаком в показателе экспоненты. Вообще говоря, нет однозначного определения, какое из этих выражений является прямым, а какое – обратным. Выбор знака в показателе экспоненты основывается на специфике решаемой задачи.

Для обозначения преобразования Фурье используются сокращенная запись и операторная запись: для прямого и для обратного.