1.3. Математическое описание электромагнитных волн

Для случая линейных и однородных сред вместо уравнений Максвелла можно использовать волновые уравнения.

1.3.1. Волновые уравнения

В скалярной теории электрическое и магнитное поля могут быть описаны независимо друг от друга, а волновые уравнения одинаковы для векторного и скалярного полей.

волновое уравнение для электрической составляющей поля	волновое уравнение для магнитной составляющей поля
или	или

Волновое уравнение в общем виде:

(1.3.5)

где – любая из составляющих электрического вектора или возмущение поля в какой-то точке пространства в какой-то момент времени,
– вторая производная возмущения по пространственным координатам,
– вторая производная возмущения по времени.

1.3.2. Монохроматическое поле

Монохроматическое поле – это поле, зависящее от времени по гармоническому закону:
где – амплитуда возмущения (функция пространственных координат), – циклическая частота изменения поля во времени, – фаза поля (функция пространственных координат).

Характеристики монохроматического поля:

• период колебаний , ;
• частота , ;
• циклическая частота , ;
• длина волны : , или или ;
  
• волновое число: .

Волновое возмущение можно записать через эйконал поля :

Эйконал поля – фаза светового поля, выраженная как оптическая длина хода лучей данного пучка.

,

Оптическая длина луча (optical path difference, OPD) – это произведение показателя преломления на геометрическую длину пути . Приращение эйконала равно оптической длине луча:

1.3.3. Комплексная амплитуда

Пусть – комплексная амплитуда поля, то есть функция только пространственных координат:

где – вещественная амплитуда.

Если вещественная амплитуда волны не зависит от пространственных координат, то такая волна называется однородной волной.

Эйконал поля можно выразить через комплексную амплитуду:

где – фаза поля.

1.3.4. Уравнение Гельмгольца

Уравнение Гельмгольца (Helmgolz equation) – это уравнение для монохроматического поля, в которое входит только комплексная амплитуда: