Учебное пособие по курсу "Основы оптики"

9.1. Основные характеристики структуры изображения (ФРТ, ОПФ)

9.1.1. Основные понятия

Изображающие приборы могут давать изображение различного качества с точки зрения передачи структуры предмета. Структура и форма светового поля в пространстве изображений подобна структуре и форме предмета, однако оптическая система вносит в эту структуру свои изменения, оценка которых есть оценка качества изображения.

Передача структуры предмета или изображения – это отображение оптической системой мелких деталей объекта. Для описания такого отображения необходимо математическое описание предмета и изображения в виде функций и . Эти функции описывают зависимость распределения интенсивности от пространственных координат.

Представим предмет в виде совокупности бесконечного количества светящихся точек. Для того, чтобы считать, что изображение предмета – это совокупность изображений соответствующих точек предмета, оптическая система должна удовлетворять свойствам линейности и инвариантности к сдвигу.

Свойство линейности

Изображение суммы объектов равно сумме изображений каждого объекта:

(9.1.1)

То есть, если предмет – это сумма точек , то изображение – сумма изображений этих точек . Изображающие оптические системы полностью линейны.

Свойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма)

При смещении точки ее изображение только смещается на пропорциональную величину (рис.9.1.1):

(9.1.2)

где – увеличение.

Рис.9.1.1. Условие изопланатизма.

В отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптических системах соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения при смещении изменяется. Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределах всего поля, обычно он соблюдается только при небольших смещениях.

Изопланатическая зона – это зона, в пределах которой соблюдается условие изопланатизма. Чем больше размер изопланатической зоны, тем лучше изопланатизм. Если зона полностью перекрывает предмет, то система полностью изопланатична. Мы будем рассматривать структуру изображения в пределах одной изопланатической зоны.

9.1.2. Функция рассеяния точки

В идеальной оптической системе точка изображается в виде точки, а в реальной оптической системе точка изображается в виде пятна рассеяния (рис.9.1.2).

Рис.9.1.2. Изображение точки в пределах изопланатической зоны.

Основной характеристикой, описывающей передачу структуры предмета оптической системой является функция рассеяния точки.

Функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF) – это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет – это светящаяся точка в центре изопланатической зоны.

Зная функцию рассеяния точки, можно найти изображение любого предмета, если разложить его на точки и найти ФРТ от каждой точки. Если есть предмет , то каждая его точка изображается в виде функции , то есть ФРТ смещается в точку с координатами () (рис.9.1.2), а изображение всего предмета будет представлять собой сумму этих изображений:

      (9.1.3)

Если увеличение принять за единицу, то выражение (9.1.3) становится сверткой (конволюцией).

Функция изображения есть свертка функции предмета с функцией рассеяния точки:

(9.1.4)

9.1.3. Гармонический периодический объект

Предмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части – периодические решетки.

Периодическая решетка – это структура с белыми и черными полосами.

Гармоническая периодическая решетка – это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией (рис.9.1.3).

В электронике существует аналог гармонической решетки – периодический во времени сигнал на входе прибора.

а) распределение интенсивности

б) сечение распределения интенсивности

Рис.9.1.3. Гармоническая периодическая решетка.

Гармоническая периодическая решетка описывается выражением:

      (9.1.5)

где – вещественная амплитуда, – сдвиг, – период, – угол ориентации.

Вместо периода можно использовать пространственную частоту , а вместо вещественной амплитуды и сдвига – комплексную амплитуду:

      (9.1.6)

Тогда интенсивность гармонической решетки в комплексной форме:

      (9.1.7)

Величину можно выразить как , тогда интенсивность гармонической решетки будет зависеть от двух координат :

      (9.1.8)

где – частота в направлении , – частота в направлении .

Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические объекты, тогда изображение – это совокупность изображений элементарных объектов. Эти изображения для реальных оптических систем всегда имеют искажения, что связано с законом сохранения энергии. Идеальные оптические системы нарушают закон сохранения энергии, так как они для сохранения неизменной структуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию.

Изображение гармонического объекта можно описать, если в выражение (9.1.3) подставить в качестве распределения интенсивности на предмете функцию (9.1.8):

      (9.1.9)

Если выразить координаты предмета и изображения в едином масштабе, то , следовательно:

После замены переменных , , получим:



или, после переобозначения , :

      (9.1.10)

Двойной интеграл в выражении (9.1.10) – это некоторая функция , зависящая от пространственных частот.

Обозначим , и запишем распределение интенсивности на изображении гармонического объекта в следующем виде:

(9.1.11)

Как показывают соотношения (9.1.8) и (9.1.11), изображение от предмета отличается только комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки – это и есть действие оптической системы.

9.1.4. Оптическая передаточная функция (ОПФ)

Оптическая передаточная функция (optical transfer function, OTF) характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция пространственных частот:

(9.1.12)

ОПФ связана с ФРТ интегральным преобразованием – преобразованием Фурье:

      (9.1.13)

или

или

где – обозначение Фурье преобразования:

      (9.1.14)

ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты.

Оптическая передаточная функция – это комплексная функция:

(9.1.15)

Модуль ОПФ называется модуляционной передаточной функцией (МПФ) или частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ). Аргумент (фаза) ОПФ называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотно-фазовой характеристикой (ЧФК).

Частотно-контрастная характеристика показывает передачу вещественной амплитуды гармонического объекта:

      (9.1.16)

где – амплитуда на предмете, – амплитуда на изображении.

Амплитуда изображения гармонического объекта тесно связана с контрастом. Контраст для периодических (гармонических) изображений (рис.9.1.4) определяется выражением:

      (9.1.17)

Рис.9.1.4. Контраст гармонического объекта.

. Абсолютный контраст получается, когда (рис.9.1.5.а). Контраст в изображении нулевой , когда – изображение практически отсутствует (рис.9.1.5.б).

а) абсолютный контраст

б) нулевой контраст

Рис.9.1.5. Абсолютный и нулевой контраст гармонического объекта.

Чем больше контраст, тем лучше различаются мелкие детали изображения. Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть в случае, если:

      (9.1.18)

где – порог контраста, зависящий от приемника изображения (например, для глаза ).

Контраст для изображения гармонического объекта может быть выражен через постоянную и переменную составляющие изображения гармонического объекта (рис.9.1.6):

      (9.1.19)

Рис.9.1.6. Постоянная и переменная составляющие изображения объекта.

Если , то ЧКХ, как следует из выражения (9.1.16) будет определяться следующим соотношением:

(9.1.20)

где – контраст изображения, – контраст предмета.

Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный (рис.9.1.7). Для идеальной оптической системы ЧКХ – прямая, параллельная оси.

Рис.9.1.9. Частотно-контрастная характеристика.

Для ближнего типа предмета или изображения пространственная частота измеряется в . Для дальнего типа пространственная частота измеряется в .

Итак, передача структуры изображения описывается ФРТ или ОПФ, которые связаны через взаимно однозначные преобразования Фурье. Наглядно отобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде:

• графиков сечений или ,
• изометрического изображения “поверхности” ,
• карты уровней .