|
9.1. Основные характеристики структуры изображения (ФРТ, ОПФ)9.1.1. Основные понятияИзображающие приборы могут давать изображение различного качества с точки зрения передачи структуры предмета. Структура и форма светового поля в пространстве изображений подобна структуре и форме предмета, однако оптическая система вносит в эту структуру свои изменения, оценка которых есть оценка качества изображения. Передача структуры предмета или изображения – это отображение оптической системой мелких деталей объекта. Для описания такого отображения необходимо математическое описание предмета и изображения в виде функций и . Эти функции описывают зависимость распределения интенсивности от пространственных координат. Представим предмет в виде совокупности бесконечного количества светящихся точек. Для того, чтобы считать, что изображение предмета – это совокупность изображений соответствующих точек предмета, оптическая система должна удовлетворять свойствам линейности и инвариантности к сдвигу. Свойство линейностиИзображение суммы объектов
равно сумме изображений каждого объекта:
То есть, если предмет – это сумма точек , то изображение – сумма изображений этих точек . Изображающие оптические системы полностью линейны. Свойство инвариантности к сдвигу (условие изопланатизма)При смещении точки ее изображение
только смещается на пропорциональную величину (рис.9.1.1):
В отличие от условия линейности, условие изопланатизма в оптических системах соблюдается приблизительно, поскольку характер изображения при смещении изменяется. Изопланатизм, как правило, не соблюдается в пределах всего поля, обычно он соблюдается только при небольших смещениях. Изопланатическая зона – это зона, в пределах которой соблюдается условие изопланатизма. Чем больше размер изопланатической зоны, тем лучше изопланатизм. Если зона полностью перекрывает предмет, то система полностью изопланатична. Мы будем рассматривать структуру изображения в пределах одной изопланатической зоны. 9.1.2. Функция рассеяния точкиВ идеальной оптической системе точка изображается в виде точки, а в реальной оптической системе точка изображается в виде пятна рассеяния (рис.9.1.2).
Основной характеристикой, описывающей передачу структуры предмета оптической системой является функция рассеяния точки. Функция рассеяния точки (ФРТ, point spread function, PSF) – это функция, описывающая зависимость распределения освещенности от координат в плоскости изображения, если предмет – это светящаяся точка в центре изопланатической зоны. Зная функцию рассеяния точки, можно найти изображение
любого предмета, если разложить его на точки и найти ФРТ от каждой
точки. Если есть предмет ,
то каждая его точка изображается в виде функции ,
то есть ФРТ смещается в точку с координатами ()
(рис.9.1.2), а изображение всего предмета будет представлять собой
сумму этих изображений: Если увеличение принять за единицу, то выражение (9.1.3) становится сверткой (конволюцией). Функция изображения есть
свертка функции предмета с функцией рассеяния точки:
9.1.3. Гармонический периодический объектПредмет кроме разложения на отдельные точки можно разложить на другие элементарные части – периодические решетки. Периодическая решетка – это структура с белыми и черными полосами. Гармоническая периодическая решетка – это структура, интенсивность которой описывается гармонической функцией (рис.9.1.3). В электронике существует аналог гармонической решетки – периодический во времени сигнал на входе прибора.
Рис.9.1.3. Гармоническая периодическая решетка. Гармоническая периодическая решетка описывается
выражением: Вместо периода можно использовать пространственную
частоту ,
а вместо вещественной амплитуды и сдвига – комплексную амплитуду:
Тогда интенсивность
гармонической решетки в комплексной форме: Величину
можно выразить как ,
тогда интенсивность гармонической решетки будет зависеть от двух
координат :
Любой объект, как было сказано выше, можно разложить на элементарные гармонические объекты, тогда изображение – это совокупность изображений элементарных объектов. Эти изображения для реальных оптических систем всегда имеют искажения, что связано с законом сохранения энергии. Идеальные оптические системы нарушают закон сохранения энергии, так как они для сохранения неизменной структуры предмета должны передавать бесконечно большую энергию. Изображение гармонического объекта можно описать,
если в выражение (9.1.3) подставить в качестве
распределения интенсивности на предмете функцию
(9.1.8): Если выразить координаты предмета и изображения
в едином масштабе, то ,
следовательно: После замены переменных ,
,
получим:
Двойной интеграл в выражении (9.1.10) – это некоторая функция , зависящая от пространственных частот. Обозначим ,
и запишем распределение интенсивности на изображении гармонического
объекта в следующем виде:
Как показывают соотношения (9.1.8) и (9.1.11), изображение от предмета отличается только комплексной амплитудой, то есть изображение гармонической решетки любой оптической системы есть гармоническая решетка с той же частотой. Поэтому гармоническую решетку удобно использовать для исследования и оценки передачи структуры изображения. Изменение комплексной амплитуды гармонической решетки – это и есть действие оптической системы. 9.1.4. Оптическая передаточная функция (ОПФ)Оптическая передаточная функция
(optical transfer function, OTF)
характеризует передачу структуры предмета оптической системой как функция
пространственных частот:
ОПФ связана с ФРТ
интегральным преобразованием – преобразованием Фурье: или или где
– обозначение Фурье преобразования: ФРТ показывает, как оптическая система изображает точку, а ОПФ показывает, как оптическая система изображает гармоническую решетку, то есть как меняется комплексная амплитуда решетки в зависимости от частоты. Оптическая передаточная функция – это комплексная
функция:
Модуль ОПФ называется модуляционной передаточной функцией (МПФ) или частотно-контрастной характеристикой (ЧКХ). Аргумент (фаза) ОПФ называется фазовой передаточной функцией (ФПФ) или частотно-фазовой характеристикой (ЧФК). Частотно-контрастная характеристика показывает
передачу вещественной амплитуды гармонического объекта: Амплитуда изображения гармонического объекта тесно
связана с контрастом. Контраст для периодических (гармонических)
изображений (рис.9.1.4) определяется выражением:
. Абсолютный контраст получается, когда (рис.9.1.5.а). Контраст в изображении нулевой , когда – изображение практически отсутствует (рис.9.1.5.б).
Рис.9.1.5. Абсолютный и нулевой контраст гармонического объекта. Чем больше контраст, тем лучше различаются мелкие
детали изображения. Изображение нельзя зарегистрировать или увидеть
в случае, если: Контраст для изображения гармонического объекта
может быть выражен через постоянную
и переменную
составляющие изображения гармонического объекта (рис.9.1.6):
Если ,
то ЧКХ, как следует из выражения
(9.1.16) будет определяться следующим соотношением:
Частотно-контрастная характеристика показывает зависимость контраста изображения гармонической решетки от частоты решетки, если считать, что на предмете контраст единичный (рис.9.1.7). Для идеальной оптической системы ЧКХ – прямая, параллельная оси.
Для ближнего типа предмета или изображения пространственная частота измеряется в . Для дальнего типа пространственная частота измеряется в . Итак, передача структуры изображения описывается ФРТ или ОПФ, которые связаны через взаимно однозначные преобразования Фурье. Наглядно отобразить двумерную функцию ОПФ можно в виде:
|