5.3. Основные соотношения параксиальной оптики

Основные соотношения параксиальной оптики связывают между собой фокусные расстояния, положение и размеры предмета и изображения, угловое, линейное и продольное увеличения.

5.3.1. Вывод зависимости между положением и размером предмета и изображения

Рис.5.3.1. Схема для вывода основных соотношений параксиальной оптики.

Для вывода зависимости между положением и размером предмета и изображения воспользуемся рис.5.3.1. подобен , следовательно:

, отсюда

Тогда, в соответствии с выражением (5.2.1), линейное увеличение можно выразить следующим образом:

      (5.3.1)

Аналогично, из подобия треугольников и можно получить выражение:

      (5.3.2)

Таким образом, увеличение можно выразить как через отрезок , так и через отрезок . Отсюда можно получить формулу Ньютона:

(5.3.3)

Если оптическая система находится в однородной среде (), то , и формула Ньютона получает вид:

      (5.3.4)

Выразим и через фокусные расстояния и отрезки и :

Тогда выражение (5.3.3) можно записать в виде:

После преобразований получим выражение, связывающее фокусные расстояния отрезки (формула отрезков или формула Гаусса):

(5.3.5)

Вычислению параксиальных параметров склеенного объектива с использованием формулы отрезков посвящена лабораторная работа "Определение параксиальных параметров склеенного объектива".

5.3.2. Угловое увеличение и узловые точки

Теперь рассмотрим угловое увеличение, опять воспользовавшись рис.5.3.1. Из , видно, что:

, отсюда

Аналогично можно вывести выражение:

Теперь можно выразить угловое увеличение через отрезки:

      (5.3.6)

Выразим из формулы Ньютона (5.3.3), тогда после преобразований получим выражение для вычисления углового увеличения:

(5.3.7)

Из выражения (5.3.7) следует, что если выбрать плоскости предмета и изображения таким образом, что и , то в точках пересечения этих плоскостей с осью угловое увеличение равно единице. Такие точки называются узловыми точками.

Чтобы найти узловые точки и , от переднего фокуса откладывается заднее фокусное расстояние, а от заднего фокуса откладывается переднее фокусное расстояние (рис.5.3.2). Отрезки и равны. Если (), то узловые точки совпадают с главными.

Рис.5.3.2. Узловые точки.

Следствием выражений (5.3.2) и (5.3.7) является следующее соотношение:

(5.3.8)

5.3.3. Частные случаи положения предмета и изображения

Рассмотрим различные положения предмета и изображения (различные и ):

• . Тогда , линейное увеличение , следовательно, предмет и изображение – это главные плоскости. Угловое увеличение .
• . Тогда , угловое увеличение , следовательно, предмет и изображение – это узловые точки. Линейное увеличение .
• . Тогда , линейное увеличение , угловое увеличение , следовательно, предмет находится на двойном фокусном расстоянии, то есть расстояние между предметом и изображением минимально.
• . Тогда , линейное увеличение , угловое увеличение , следовательно, предмет находится в переднем фокусе, а изображение – в бесконечности.
• . Тогда , линейное увеличение , угловое увеличение , следовательно, предмет находится на бесконечности, а изображение – в заднем фокусе.

5.3.4. Связь продольного увеличения с поперечным и угловым

Рис.5.3.3. Связь продольного увеличения с поперечным и угловым.

Рассмотрим рис.5.3.3. Длину отрезков и можно выразить следующим образом:

По определению продольного увеличения (5.2.4):

После преобразований, с учетом выражений (5.3.1) и (5.3.2), получим:

      (5.3.9)

где и – поперечные (линейные) увеличения в точках и .

Или, с учетом выражения (5.2.5):

      (5.3.10)

Теперь рассмотрим продольное увеличение для бесконечно малых отрезков (, ) (по определению это и есть продольное увеличение). В этом случае линейное увеличение в точках и будет одинаковым, следовательно:

(5.3.11)

Из выражения (5.3.8) можно получить:

(5.3.12)

Если оптическая система находится в однородной среде (), то:

,       (5.3.13)

То есть продольное увеличение равно квадрату линейного увеличения, а угловое обратно пропорционально ему.

5.3.5. Диоптрийное исчисление

Диоптрийное исчисление – это измерение продольных отрезков в обратных единицах (диоптриях):

,
где – приведенная длина.

Одна диоптрия соответствует приведенному отрезку в 1м. Если отрезок измеряется в мм, то обратный отрезок измеряется в килодиоптриях.

Используя формулу отрезков (5.3.5) и выражение (5.2.5) можно получить важное соотношение для приведенных отрезков в пространстве предметов и изображений и оптической силы, измеряемых в диоптриях:



или

(5.3.14)

где и – приведенные передний и задний отрезки в диоптриях. То есть оптическая система увеличивает приведенный отрезок в пространстве изображений (в дптр) на величину оптической силы.

5.3.6. Инвариант Лагранжа-Гельмгольца

Инвариант Лагранжа-Гельмгольца связывает линейный размер предмета и угловой размер пучка лучей (рис.5.3.4). Эта величина инвариантна, то есть неизменна в любом пространстве.

Рис.5.3.4. Величины, которые связывает инвариант Лагранжа-Гельмгольца.

Для вывода этого инварианта воспользуемся выражением (5.3.8), связывающим угловое и линейное увеличения. Тогда воспользовавшись выражениями (5.2.1) и (5.2.3), определяющими линейное и угловое увеличения, получим следующее соотношение:

        (5.3.15)

Выражение (5.3.15) можно преобразовать, и тогда получим инвариант Лагранжа-Гельмгольца:

(5.3.16)

Инвариант Лагранжа-Гельмгольца характеризует информационную емкость оптической системы, то есть величину пространства, которое может быть отображено оптической системой. Этот инвариант математически выражает закон сохранения информации в геометрической оптике.

Примеры вычисления параксиальных параметров линз различных типов с использованием основных соотношений параксиальной оптики рассматриваются в практическом занятии "Определение параксиальных параметров линз различных типов".